Введение в нейронные сети. 7 рассказов о математике

Александр Титов (С.-Петербург)

Продолжение. Начало см. в предыдущем номере

Рассказ второй. Плоскатики

Там, где живут плоскатики, нет высоты. Простые плоскатики про нее даже не слышали. Самые простые плоскатики, если на них смотреть сверху или сбоку, похожи на кусочки линии. Если вы такому плоскатику посмотрите в лицо, увидите точку.

Чем плоскатик круглее, тем он важнее. Например, есть Треугольники, Квадраты, Многоугольники и даже Верховная Окружность.

Сбоку они все похожи! Поэтому плоскатики узнают общественное положение наощупь. Есть формула представления: «Разрешите представить Вам для ощупывания моего друга мистера N и просить Вашего согласия быть ощупанным им». Приличный плоскатик может определить число углов правильного многоугольника, ощупав всего только один его угол.

Однажды Сфера проходила плоскость насквозь, с одной стороны на другую. Она даже не заметила плоскость — ведь плоскость бесконечно тонкая. А плоскатики увидели недостойное поведение круглого Священника: сначала он раздувался, потом стал уменьшаться, а в конце превратился — о ужас — в Точку, и совсем исчез! (Представьте себе последовательные сечения сферы плоскостью).

Если плоскость жизни бесконечно большая и ровная, то можно идти вдаль по прямой бесконечно. Если на плоскости холмы, то заметить их трудно: ведь взгляд плоскатика изгибается вместе с поверхностью жизни. Но мы-то знаем, что поверхности могут быть кривыми и даже замкнутыми. Если плоскатики живут на поверхности сферы, то прямой путь приведет в точку старта, но с обратной стороны. При этом мы увидим, что плоскатик обошел вокруг сферы. (В модели Фридмана наш мир именно такой: летящий по прямой линии звездолет когда-нибудь вернется в точку старта. А пространство для полетов то сжимается в точку, то расширяется до максимального размера конечной Вселенной)

Самое время говорить о параллельных мирах. Представьте две параллельные плоскости. Плоскатики с разных плоскостей никогда не могут попадать друг к другу (хотя могут разводить досужие домыслы о жизни в параллельном мире). Напоминаем, что с одной плоскости другая не видна, взгляд не выходит из поверхности. Теперь представьте, что эти две плоскости выгнуты друг к другу и соприкасаются. Тогда настойчивый путешественник сможет отыскать проход и переползти на другую плоскость.

Можно представить еще много чего интересного. Например, на плоскости может торчать вырост вроде пузыря на ножке или родинки. При этом всей остальной плоскости до этого пузыря нет никакого дела, и издали никак не понять, есть он или нет. А если кто-то знает тайное место перехода, он сделает несколько шагов в нужном месте в нужную сторону (по ножке), и спрячется в пузыре. Такие сказки любил знаменитый исследователь джунглей Южной Америки П.Фосетт. Его сын обработал и издал дневники экспедиций — всех, кроме последней. Возможно, Фосетт верил легендам про могущественные тайные города в джунглях, про негаснущий свет в окнах башен на границах тайных территорий, да и сам он кое-что видел (или это ему почудилось). А возможно, что легенды просто были правдой. Последняя экспедиция бесследно исчезла.

В плоской Вселенной возможны быстрые межзвездные полеты.

Например, если лист жизни изогнут так, что точки на разных концах листа смыкаются — тогда можно найти путь короче, чем со стороны изгиба листа.

Плоскатиков придумал Эдвин Эбботт и написал про них в книге «Флатландия», изданной в 1880 году. Вот часть предисловия к книге Д. Бюргера «Сферландия» (Роттердам, 1957 г.):

«… автором романа о Флатландии, который приобрел международную известность, был англичанин Эдвин Э. Эбботт. Он был не математиком, а необычайно одаренным и квалифицированным педагогом. Мистер Эбботт родился 20 декабря 1838 г, а в 1865 г стал директором одной из лондонских школ. Помимо знаменитой «Флатландии», изделиями его пера были школьные учебники, несколько теологических работ, биография Бэкона и «Шекспировская грамматика», которая также приобрела большую известность. Умер Эдвин Э.Эбботт в 1926 г в возрасте 87 лет». На всякий случай проверяем эти цифры: 1926 — 1838 = 88 , а не 87. В чем тут дело, не знаю :)

Слово «плоскатики» сообщил мне физик Н. Козимиров в незапамятные времена. Может быть, он и придумал слово.

————————————————

Могут ли плоскатики сами, без нас, узнать, что их мир искривлен?

Вот обычный пример из научно-популярной литературы.

Представьте себе треугольник на сфере. Прямые на сфере – это меридианы (фрагменты наибольшей окружности). Видно, что в большом треугольнике, составленном из прямых, углы будут увеличены, и их сумма будет больше 180 градусов. Значит, если свет идет по линиям кратчайшего расстояния, и плоскатикам известна модель неискривленной плоскости, и они живут на сфере, то они смогут обнаружить кривизну поверхности без длительных путешествий. Такой опыт делали. В начале 20 века с помощью оптических приборов измеряли сумму углов треугольника, образованного тремя горными вершинами в Швейцарии. В пределах погрешности измерений сумма оказалась равной 180 градусам.

Учитывая опыт с простой задачкой (см. очерк 1), теперь будем сомневаться… Были слова: прямая, расстояние. Какая еще прямая на поверхности?

Какой-то «свет» затесался в нашу тему и занял там неподобающе почетное место. Как это вышло?

Что такое расстояние? Вернее, в КАКОМ понимании (применении) расстояния нас интересует кривизна мира? Мы ходим по нашим полям и лесам, и хотим пешком попасть в одно другое место. Одни лесные тропы короче, другие длиннее. Как получается число, которым выражена длина пути? Нам нужно число шагов. Испробовав все тропы, мы найдем кратчайшую. А как уложить шаги? А МОЖНО ли уложить шаги? :)

За поворотом не видно, как идет тропа. На поле видно, куда идти. Если идти туда, куда видно, путь короче. 1) Это экспериментальный факт? Это проверено? 2) Свет тоже пробует все варианты пути? 3) И как в нем укладываются шаги?

С прямыми линиями на поверхности математики более или менее разобрались. Они ввели понятие геодезической кривой — это кривая, которая, так сказать, везде идет по локально кратчайшему расстоянию.

(За это определение меня будут бить:) Расстояние (и геодезические кривые) можно вводить по-разному. Как понимают эти термины, когда говорят «свет распространяется по геодезическим линиям»?

А вдруг между вершинами нет пути шагами такой же длины, которую проходит луч света? Опыт с треугольником не исключает того, что мир-то все равно крив, а только вот свет идет по прямой вне мира пешеходных путешествий.

(Скорее всего, опыт этого не показывает).

Вопросов много. Но у нас и книжка есть! Давайте-ка почитаем сначала ее — интересно, что написал про эти таинственные предметы в 19 веке Эдвин Эбботт, автор «Шекспировской грамматики».

Продолжение в следующем номере

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>