Численные методы решения дифференциальных уравнений метод эйлера

Численные методы решения дифференциальных уравнений метод эйлера

Главная Цены Оплата Примеры решений Отзывы Ccылки Теория Книги Сотрудничество Форум
Теория / Информатика / Лекция 13. Численное решение дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у’)=0 или у’=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у’=f(x,y).

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

    вариант 1 (аналитический) у=f (x,y)

Расчетные формулы для 1-го шага
Расчетные формулы для i-го шага


вариант 2 (графический)

Аналогично варианту 1

Следующие расчетные формулы приводятся без вывода.

Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

где уi+1i — значения искомой функции в точках xi+1, xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h — шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x, y=y.

Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x 2 при y|x=0 =1. Определить значение функции при xk=1, h=1.

Решение задачи приведено в таблице.

Решить дифференциальное уравнение dy/dx=x 2 при y|x=0 =1. Определить знач. функции при xk=1, h=1

  • Метод Эйлера.
  • Модифицированный метод Эйлера 1.
  • Модифицированный метод Эйлера 2.
  • Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
  • Отладка и получение результатов

    Контрольное задание. Лабораторная работа 5.

    Численное решение дифференциальных уравнений

    1. Решить дифференциальное уравнение аналитически и численно указанными методами для двух значений шага интегрирования h=0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы.
    2. Построить графики функций y(x) (5 графиков).

    Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице

    Численное решение дифференциальных уравнений

    Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом:

    Читайте также:  Project zomboid стена из бревен

    , где x – независимая переменная, — i-ая производная от искомой функции. n — порядок уравнения. Общее решение ОДУ n–го порядка содержит n произвольных постоянных , т.е. общее решение имеет вид .

    Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

    Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.

    Примеры постановки задачи Коши:

    Примеры краевых задач:

    Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.

    Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

    Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка

    на отрезке при условии

    При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки промежутка [x, xn].

    Целью является построение таблицы

    т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

    Интегрируя уравнение на отрезке , получим

    Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой–либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

    ,

    то получим явную формулу Эйлера:

    , .

    Зная , находим , затем т.д.

    Геометрическая интерпретация метода Эйлера:

    Пользуясь тем, что в точке x известно решение y(x) = y и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке :. При достаточно малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y(x1) решенияy(x) задачи Коши. Следовательно, точка пересечения касательной с прямой x = x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда (т.е. пересечение с прямой x = x2), получим приближенное значение y(x) в точке x2: и т.д. В итоге для i–й точки получим формулу Эйлера.

    Читайте также:  Что такое нормальный вектор

    Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

    Если использовать формулу правых прямоугольников: , то придем к методу

    , .

    Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

    Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

    Модифицированный метод Эйлера: в данном методе вычисление состоит из двух этапов:

    Данная схема называется еще методом предиктор – корректор (предсказывающее – исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

    Методы Рунге – Кутта: идея построения явных методов Рунге–Кутты p–го порядка заключается в получении приближений к значениям y(xi+1) по формуле вида

    ,

    .

    Здесь an, bnj, pn, – некоторые фиксированные числа (параметры).

    При построения методов Рунге–Кутты параметры функции (an, bnj, pn) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.

    Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

    Пример. Решить задачу Коши:

    .

    Рассмотреть три метода: явный метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, метод Рунге – Кутта.

    Точное решение:

    Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера:

    Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:

    В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем. Разобраны наиболее известные методы Эйлера, Рунге-Кутта (разных порядков), приведено сравнение приближенных и точных решений, построены графики.

    Решения задач на численное интегрирование дифференциальных уравнений онлайн

    Задача 1.Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
    на отрезке $[t_0, T]$ с шагом $h=0.2$ а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге.
    Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.

    Читайте также:  Как кратковременно улучшить зрение

    Задача 2. Используя 1) метод Эйлера и 2) модифицированный метод Эйлера, найдите приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка $y’=f(x,y)$ удовлетворяющего начальным условиям $y(x_0)=y_0$ на отрезке $[a,b]$ с шагом $h=0.1$. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

    Задача 3. Численно решить задачу Коши для ОДУ 2-ого порядка методом Рунге-Кутта 4-го порядка. $$u»+e^x u’-(10+sin x )u+f=0, 0lt x lt 1$$ $$u(0)=0; u'(0)=50$$ $$f=50((11+sin x) sin x-e^x cos x). $$ Точное решение: $u=50 sin x, h=0.05, n=20$

    Задача 4. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи с шагами $h_1=(b-a)/5$, $h_2=(b-a)/10$ и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector