Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника

  • 10 — 11 классы
  • Геометрия
  • 15 баллов

помогите пожалуйста доказать теорему:Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то она проектируется на его плоскость в центр вписанной окружности.

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

ShabanovaKs 20.01.2013

Ответ

Проверено экспертом

SO перпендикуляр к плоскости многоугольника. Рассмотрим треугольники SOM, SOQ, SOP, SON. Они все равны (прямоугольный, гипотенузы равны, а катет общий), тогда отрезки OM, OQ, OP, ON равны. Наконец, по теореме о трех перпендикулярах OM перпендикулярно AB, OQ — AD, OP — CD, ON — BC. Т.к. длины отрезков равны, а расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую, то О равноудалена от сторон многоугольника. Т.к. О принадлежит плоскости многоугольника, то О — центр вписанной окружности, ч.т.д.

И. Проверка домашнего задания

1. Проверить решение задачи № 24 по записям (с пробелами), сделанными на доске до начала урока.

Решение задачи № 24 Пусть АВα (рис. 166).

1) ВС = 40 см, BD =. ; пусть AD = х см, тогда АС=. С ΔАВ D : АВ2 = х2 -122 = х2 — 144. Из ΔАВС АВ2. Тогда х2 — 144 = (х + 26)2 — 402; 52х=. ; х =15. Следовательно, AD=. AC = 41 см.

2) BD=. BC=7 см; пусть А D =. тогда AC = 2х см.

С ΔАВ D AB2=. Из Δ АВС АВ2 = 4х2 — 49.

Тогда х2 — 1 = . ; 3х2 = . ; х2 = 16. Отсюда х = . ; следовательно, AD =. AC = 2·4 = 8 (см).

Ответ. 1) 15 см и 41 см; 2) 4 см и 8 см.

Читайте также:  Потеряна базовая плоскость компас

2. Математический диктант.

МО — перпендикуляр к плоскости ОАВ; AOB = 90° (рис. 167); МА и МВ — наклонные.

Вариант 1 — МО = 1 см, ОА = 3 см, MB = см;

вариант 2 — МЕ = 1 см, ОВ = 4 см, МА = см. Пользуясь рисунком, найдите:

1) длину неизвестной наклонной; (2 балла)

2) длину неизвестной проекции наклонной; (2 балла)

3) длину отрезка АВ; (2 балла)

4) расстояние от точки В до середины отрезка АВ; (2 балла)

5) расстояние от точки М до середины отрезка АВ; (2 балла)

6) расстояние от точки А до плоскости ЯЗЫКОВ. (2 балла)

Ответ. Вариант 1.1) см; 2) см; 3) см; 4) см; 5) см; 6) 3 см.

Вариант 2. 1) см; 2) 3 см; 3) 5 см; 4) 2,5 см; 5) см; 6) 3 см.

II. Восприятие и осознание нового материала

Свойство точки, равноудаленной от вершины многоугольника

Если через центр окружности, описанной вокруг многоугольника, проведено прямую, перпендикулярную к плоскости многоугольника, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.

Доведение

Пусть ABCD — четырехугольник, вокруг которого описана окружность с центром в точке О, и OS(ABC). Докажем, что SA = SB = SC = SD (рис. 168).

ΔASO = ΔBSO = ΔCSO = ΔDSO (за двумя катетами: SO — общая, АО = BO = CO = DO).

Из равенства треугольников следует, что SA = SB = SC = SD.

Если некоторая точка равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника, совпадает с центром окружности, описанной вокруг многоугольника.

Доведение

Пусть ABCD — данный четырехугольник, для точки S пространства SA = SB = SC = SD и SOАВС. Докажем, что точка О — центр окружности, описанной вокруг ABCD (рис. 168). ΔASO = ΔBSО = ΔCSO = ΔDSO (по гипотенузой и катетом: SO — совместный, AS = BS = CS = DS — по условию). Из равенства треугольников следует, что АО = BO = CO = DO, т.е. точка О — центр окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD.

Читайте также:  Расширение txt rtf doc имеют

Далее следует напомнить формулы для нахождения радиуса круга, описанного вокруг некоторых многоугольников, с помощью данной настенной таблицы.

1. ABC = 90°; МА = MB = МС (рис. 169). Опустите из точки М перпендикуляр на плоскость АВС.

2. ABCD — квадрат, АВ = 4 см, МА = MB = MC = MD = 5 см (рис. 170). Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

3. АВ = ВС = АС = 5 см; МА = MB = MC = 13 см (рис. 171). Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

4. ABCD — квадрат, SO( ABC ), SO = 2см, АВ = 4 см (рис. 172). Найдите расстояние от точки S до вершин квадрата.

5. Δ АВС — правильный; точка О — центр треугольника; АВ = 3см; SO(АВС); SO = см (рис. 173). Найдите расстояние от точки 5 до вершин треугольника АВС.

6. Задача 21 из учебника (с. 35).

7. Задача 20* из учебника (с. 35).

III. Домашнее задание

Задачи № 6, 17-19 (с. 34-35).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Какое свойство имеют точки, которые лежат на перпендикуляре, проведенном к плоскости многоугольника через центр окружности, описанной вокруг многоугольника?

2) Где находятся точки, равноудаленные от вершин некоторого многоугольника?

3) Через центр О правильного шестиугольника ABCDEF проведем перпендикуляр SO к плоскости АВС (рис. 174). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные:

а) расстояния от точки S до вершин шестиугольника ABCDEF разные;

б) угол OAS равен углу OCS;

в) если ОА = 1 cm, SO = 1 см, то SA = cm;

г) если SO = OB, то OSB = 60°.

4) Расстояния от точки S до всех вершин прямоугольника ABCD равны, точка О — точка пересечения диагоналей АС и BD прямоугольника ABCD. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные:

Читайте также:  Что делать если не открывается инстаграм

а) прямая SO перпендикулярна к прямой АС;

б) прямая SO не перпендикулярна к прямой BD;

в) прямая SO перпендикулярна к плоскости АВС;

г) если АВ = 6 см, ВС = 8 см и AS = 13 см, то SO = 12 см.

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №200
к главе «Дополнительные задачи к главе II Перпендикулярность прямых и плоскостей.».

Пусть SO L а — данная прямая, а а — плоскость многоугольника

Пусть на плоскости а имеется вписанный в окружность n-угольник (не обязательно правильный n-угольник); т. О -центр описанной окружности.

Рассмотрим ΔA1OS, ΔA2OS, . ΔAnOS. Они — прямоугольные, ОА1 = ОА2 = . = =ОАn — как радиусы окружности, SO — общий катет. Все треугольники равны, поэтому наклонные SA1, SA2, . SАn тоже равны. Это суть утверждение задачи.

«>

Оцените статью
Добавить комментарий