Формула для вычисления относительной погрешности

Формула для вычисления относительной погрешности

Погрешность измерения — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Выяснить с абсолютной точностью истинное значение измеряемой величины, как правило, невозможно, поэтому невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Это отклонение принято называть ошибкой измерения. (В ряде источников, например в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно рекомендации РМГ 29-99 термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный, а РМГ 29-2013 его вообще не упоминает [1] ). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины хд , то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путём и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него [1] . Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T = 2,8 ± 0,1 с означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с до 2,9 с с некоторой оговорённой вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка, предел погрешности).

Содержание

Оценка погрешности [ править | править код ]

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

  • Часто для оценки случайной погрешности используют стандартное отклонение, или среднеквадратическое отклонение, для которого обычно используют один из двух способов оценки (оба термина применяются как к одному, так и к другому способу):
  • На основании несмещённой оценки дисперсии: S = ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 n − 1 <displaystyle S=left.<sqrt <frac <sum _^(x_-<ar >)^<2>>>>
    ight.>
  • На основании смещённой оценки дисперсии: S x = S n − 1 n = ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 n <displaystyle S_=<frac >><sqrt >>=<sqrt <frac <sum _^<(x_-<ar >)^<2>>>>>>
  • Метод Корнфельда заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность оценивается как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:
  • Δ x = x max − x min 2 . <displaystyle Delta x=<frac -x_<min >><2>>.>

    Классификация погрешностей [ править | править код ]

    По форме представления [ править | править код ]

    Абсолютная погрешность — Δ X <displaystyle Delta X> является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины X meas <displaystyle X_< extrm >> (“meas” от “measured” — измеренное). Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины X meas <displaystyle X_< extrm >> может быть различной. Если X meas <displaystyle X_< extrm >> — измеренное значение, а X true <displaystyle X_< extrm >> — истинное значение, то неравенство |X_< extrm >-X_< extrm >|>"> Δ X > | X meas − X true | <displaystyle Delta X>|X_< extrm >-X_< extrm >|> |X_< extrm >-X_< extrm >|>"/> должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина X meas <displaystyle X_< extrm >> распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

    Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью [2] :

    1. Явное указание погрешности. Например, mS = 100,02147 г с погрешностью uc = 0,35 мг.
    2. Запись в скобках погрешности последних цифр: mS = 100,02147(35) г. Для экспоненциальной записи в скобках указывается погрешность последних цифр мантиссы.
    3. Запись погрешности в скобках с абсолютным значением: mS = 100,02147(0,00035) г.
    4. Запись со знаком ±: 100,02147±0,00035 г. Такая запись рекомендуется стандартом JCGM 100:2008 в случае, если значение погрешности не относится к доверительному интервалу (т.е. если оценка строгая).

    Запись со знаком ± зачастую может интерпретироваться как строгая, то есть, например что при 100 ± 5 значение гарантированно лежит в интервале от 95 до 105. Но научная запись подразумевает не это, а то, что величина скорее всего лежит в указанном интервале с некоторым стандартным отклонением [3] [4] .

    Относительная погрешность измерения — отношение абсолютной погрешности измерения к опорному значению измеряемой величины, в качестве которого может выступать, в частности, её истинное или действительное значение: δ x = Δ x x true <displaystyle delta _=<frac <Delta x>>>>> , δ x = Δ x x ¯ <displaystyle delta _=<frac <Delta x><ar >>> .

    Читайте также:  Mail ru хранилище файлов

    Относительная погрешность является безразмерной величиной; её численное значение может указываться, например, в процентах.

    Приведённая погрешность — это отношение максимально возможной абсолютной погрешности к нормирующему значению:

    γ = Δ x max x N <displaystyle gamma =<frac <Delta x_< extrm >>>>>>

    Так же как и относительная, является безразмерной величиной; её численное значение может указываться, например, в процентах.

    По причине возникновения [ править | править код ]

    • Инструментальные / приборные погрешности — погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировкишкалы, ненаглядностью прибора.
    • Теоретические — погрешности, возникающие из-за неверных теоретических предпосылок при измерениях.
    • Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
    • Субъективные / операторные / личные погрешности — погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

    В технике применяют приборы для измерения лишь с определённой заранее заданной точностью — основной погрешностью, допускаемой в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора. В различных областях науки и техники могут подразумеваться различные стандартные (нормальные) условия (например, Национальный институт стандартов и технологий США за нормальную температуру принимает 20 °C, а за нормальное давление — 101,325 кПа ); кроме того, для прибора могут быть определены специфические требования (например, нормальное рабочее положение). Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора — например, температурная (вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной), установочная (обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения), и т. п.

    Обобщённой характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведённых основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)×10 n , где показатель степени n = 1; 0; −1; −2 и т. д.

    По характеру проявления [ править | править код ]

    Случайная погрешность — составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения, однако их влияние обычно можно устранить статистической обработкой. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.

    Математически случайную погрешность, как правило, можно представить белым шумом: как непрерывную случайную величину, симметричную относительно нуля, независимо реализующуюся в каждом измерении (некоррелированную по времени).

    Основным свойством случайной погрешности является возможность уменьшения искажения искомой величины путём усреднения данных. Уточнение оценки искомой величины при увеличении количества измерений (повторных экспериментов) означает, что среднее случайной погрешности при увеличении объёма данных стремится к 0 (закон больших чисел).

    Часто случайные погрешности возникают из-за одновременного действия многих независимых причин, каждая из которых в отдельности слабо влияет на результат измерения. По этой причине часто полагают распределение случайной погрешности «нормальным» (см. Центральная предельная теорема). «Нормальность» позволяет использовать в обработке данных весь арсенал математической статистики.

    Однако априорная убежденность в «нормальности» на основании Центральной предельной теоремы не согласуется с практикой — законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны и, как правило, сильно отличаются от нормального.

    Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления).

    Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.

    Читайте также:  Будет ли работать электросчетчик без нуля

    Систематическую ошибку нельзя устранить повторными измерениями. Её устраняют либо с помощью поправок, либо «улучшением» эксперимента.

    Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Обусловлена она нарушениями статистической устойчивости.

    Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора или если произошло замыкание в электрической цепи).

    Надо отметить, что деление погрешностей на случайные и систематические достаточно условно. Например, ошибка округления при определённых условиях может носить характер как случайной, так и систематической ошибки.

    По способу измерения [ править | править код ]

    Погрешность прямых измерений [ источник не указан 1141 день ] вычисляется по формуле

    Δ x = ( t ) 2 + ( A ) 2 <displaystyle Delta x=<sqrt <(t)^<2>+(A)^<2>>>>

    • t = S x t α , ( N − 1 ) <displaystyle t=S_t_<alpha ,(N-1)>>:
    • S x <displaystyle S_>— стандартная ошибка среднего (выборочное СКО, деленное на корень из количества измерений N <displaystyle N>);
    • t α , ( N − 1 ) <displaystyle t_<alpha ,(N-1)>>— квантиль распределения Стьюдента для числа степеней свободы ( N − 1 ) <displaystyle (N-1)>и уровня значимости α <displaystyle alpha >;
  • A <displaystyle A>— абсолютная погрешность средства измерения (обычно это число, равное половине цены деления измерительного прибора) [источник не указан 1141 день] .
  • Погрешность косвенных воспроизводимых измерений — погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины. Если F = F ( x 1 , x 2 . . . x n ) <displaystyle F=F(x_<1>,x_<2>. x_)> , где x i <displaystyle x_> — непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность Δ x i <displaystyle Delta x_> , то:

    Δ F = ∑ i = 1 n ( Δ x i ∂ F ∂ x i ) 2 <displaystyle Delta F=<sqrt <sum _^left(Delta x_<frac <partial F><partial x_>>
    ight)^<2>>>>

    Погрешность косвенных невоспроизводимых измерений вычисляется аналогично вышеизложенной формуле, но вместо x i <displaystyle x_> ставится значение, полученное в процессе расчётов.

    По зависимости от инерционности прибора [ править | править код ]

    • Статическая — погрешность системы измерения, возникающая при измерении неизменной во времени физической величины.
    • Динамическая — погрешность системы измерения, возникающая при измерении переменной физической величины, обусловленная несоответствием реакции системы измерения на скорость изменения измеряемой физической величины.

    По зависимости от входной величины [ править | править код ]

    • Аддитивная — погрешность, независящая от чувствительности прибора и являющаяся постоянной для всех значений входящей величины в пределах диапазона измерений.
    • Мультипликативная — погрешность, зависящая от чувствительности прибора и меняющаяся пропорционально к текущему значению входной величины.

    Погрешность измерения и принцип неопределенности Гейзенберга [ править | править код ]

    Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности одновременного определения пары наблюдаемых физических величин, характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Таким образом, из аксиом квантовой механики следует принципиальная невозможность одновременного определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот факт накладывает серьёзные ограничения на применимость понятия «истинное значение физической величины».

    Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными, если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.

    Случайные погрешности при прямых измерениях

    Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноNизмерений одной и той же величиныxв отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x1,x2, …,xN. В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:

    . (1)

    Абсолютной погрешностьюединичного измерения называется разность вида:

    .

    Среднее значение абсолютной погрешности Nединичных измерений:

    (2)

    называется средней абсолютной погрешностью.

    Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

    . (3)

    Приборные погрешности при прямых измерениях

    Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).

    Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

    Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).

    Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С, указанному на шкале прибора:

    Например: и,

    Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.

    После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.

    Читайте также:  Как взломать по ip адресу

    Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

    Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b, c, значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a,b,c…).

    Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

    Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a,b,c…). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем:lnX = lna + lnb + ln(c+d).

    Дифференциал этого выражения имеет вид:

    .

    Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

     = . (4)

    Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

    Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

    1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

    2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

    3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

    4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a,b,c…) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

    5) Рассчитывают относительную погрешность  = .

    6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

    7) Окончательный результат записывают в виде:

    Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

    Абсолютная погрешность

    Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
    Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

    Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

    Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

    Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

    На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

    Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

    Относительная погрешность

    Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

    Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

    Правила подсчета погрешностей

    Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

    • при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
    • при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
    • при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

    Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

    Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

    Что мы узнали?

    Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector