Функция задана неявно уравнением

Функция задана неявно уравнением

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):
(2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.

По формуле (2) находим:
.

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .

Читайте также:  Ussd velcom узнать тарифный план

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :

;
.
Отсюда находим производную второго порядка.

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-02-2017

Формула

Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде $ F(x,y(x)) = 0 $. Производная неявной функции находится двумя способами:

  1. Дифференцированием обеих частей уравнения
  2. С помощью использования готовой формулы $ y’ = — frac$

Как найти?

Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по $ x $. Стоит обратить внимание, что производная $ y’ $ вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, $ (y^2)’_x = 2yy’ $. После нахождения производной необходимо выразить $ y’ $ из полученного уравнения и разместить $ y’ $ в левой части.

Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции $ F(x,y(x)) = 0 $. Для нахождения числителя берем производную по $ x $, а для знаменателя производную по $ y $.

Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.

Примеры решений

Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.

Пример 1

Найти производную неявной функции $ 3x^2y^2 -5x = 3y — 1 $

Решение

Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения:

Читайте также:  Спам номера что это значит

$$ (3x^2y^2 -5x)’_x = (3y — 1)’_x $$

Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций:

$$ (3x^2)’_x y^2 + 3x^2 (y^2)’_x — (5x)’_x = (3y)’_x — (1)’_x $$

$$ 6x y^2 + 3x^2 2yy’ — 5 = 3y’ $$

Далее выражаем y’ из уравнения:

$$ 6x y^2 — 5 = 3y’ — 6x^2 yy’ $$

$$ 6x y^2 — 5 = y'(3-6x^2 y) $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ y’ = frac<6x y^2 — 5> <3 — 6x^2y >$$

Функция задана неявно, найти производную $ 3x^4 y^5 + e^ <7x-4y>-4x^5 -2y^4 = 0 $

Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции $ F(x,y) = 0 $

Положим $ y $ постоянной и продифференцируем по $ x $:

$$ F’_x = 12x^3 y^5 + e^ <7x-4y>cdot 7 — 20x^4 $$

$$ F’_x = 12x^3 y^5 + 7e^ <7x-4y>- 20x^4 $$

Считаем теперь $ x $ константой и дифференцируем по $ y $:

$$ F’_y = 15x^4 y^4 + e^ <7x-4y>cdot (-4) — 8y^3 $$

$$ F’_y = 15x^4 y^4 — 4e^ <7x-4y>- 8y^3 $$

Подставляем теперь в формулу $ y’ = -frac$ и получаем:

Как найти первую и вторую производные параметрической функции

Параметрическое представление функциональной зависимости y от x для функции y = f(x) имеет вид:

Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены и непрерывны на интервале изменения параметра t. Продифференцируем данные функции.

Для нахождения первой производной необходимо разделить второе уравнение на первое:

Для нахождения второй производной:

Найти вторую производную параметрической функции

  1. Найдем первую производную по формуле: [y’_ =frac > ] [y’_ =left(t^ <3>
    ight)^ <<‘>> =6t x’_
    =left(ln t
    ight)^ <<‘>> =frac<1>
    ] [y’_
    =frac<6t><frac<1>> =6t^ <2>]
  2. Найдем вторую производную [y»_ =left(6t^ <2>
    ight)^ <<‘>> =12t]

Что такое неявно заданная функция, и как ее найти

Если функция вида y=y(x) задана уравнением F(x;y(x)) = 0, то функция является неявно заданной.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Для нахождения дифференциала неявной функции необходимо выполнить следующие действия:

  1. Продифференцировать обе части уравнения по х.
  2. Поскольку у — дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
  3. В правой части уравнения должно получится значение 0.

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида F(x;y(x)) = 0

  1. Решить полученное уравнение относительно y`(x)

Пусть неявная функция у от x определяется равенством:

Дифференцируем по x все члены этого равенства:

Последнее равенство снова дифференцируем по х:

Заменим производную dy/dx ее выражением:

Поскольку $a^2y^2 + b^2x^2 = a^2b^2$, вторую производную можно представить в виде

Дифференцируя по х последнее равенство, найдем $frac <3>y> <3>> $ и т. д.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Найти вторую производную неявно заданной функции

  1. Перенесем все части выражения в левую часть, приравняем к нулю и продифференцируем: [left(2x^ <3>-xy^ <2>-4
    ight)^ <<‘>> =0] [left(2x^ <3>
    ight)^ <<‘>> -left(xy^ <2>
    ight)^ <<‘>> -left(4
    ight)^ <<‘>> =0] [6x^ <2>-left(x’y^ <2>+xleft(y^ <2>
    ight)^ <<‘>>
    ight)=0] [6x^ <2>-y^ <2>-2xyy’=0]
  2. Выразим y` [y’=frac <6x^<2>-y^ <2>><2xy>]
  3. Повторно дифференцируем равенство [left(6x^ <2>-y^ <2>-2xyy’
    ight)^ <<‘>> =12x-2y-2left(xy
    ight)^ <<‘>> y’-2xyy’] [12x-2y-2left(xy
    ight)^ <<‘>> y-2xyy’=12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»] [12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»=12x-2y-2y’-2xy’-2xyy»]
  4. Выполним замену y` [12x-2y-2frac <6x^<2>-y^ <2>><2xy>-2xfrac <6x^<2>-y^ <2>><2xy>-2xyy»=0]
  5. Упростим [frac <12x^<2>y-2xy^ <2>>-frac <6x^<2>-y^ <2>>-frac <6x^<3>-y^ <2>>-2xyy»=0] [frac <12x^<2>y-2xy^ <2>-6x^ <2>+2y^ <2>-6x^ <3>>-2xyy»=0]

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Пример 2
Решение
Ссылка на основную публикацию
Adblock detector