Является ли правильный треугольник равнобедренным

Является ли правильный треугольник равнобедренным

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию является медианой и высотой.

Теорема: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Теорема: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является медианой и биссектрисой.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник – частный случай равнобедренного треугольника.(т.е. для любого равностороннего треугольника применимы все свойства равнобедренного треугольника)

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним треугольником.

Признак: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°

Свойство: В равностороннем треугольники центры вписанной и описанной окружности совпадают.

По формулам выше можно найти высоту, площадь равностороннего треугольника через сторону, радиус вписанной и радиус описанной окружностей.

Равнобедренный треугольник — треугольник
у которого равны две стороны.

Например (см. рис.) :
AB = BC — боковые стороны;
AC — основание равнобедренного треугольника.


Равносторонний треугольник — треугольник
у которого все стороны равны.

Например (см. рис.) :
A 1 B 1 = B 1 C 1 = A 1 C 1 — стороны треугольника.

Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным,
но не всякий равнобедренный — равносторонним.

Свойства равнобедренного треугольника:

• в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

• в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;


AB = BC (равнобедренный треугольник),
AO = OC (BO — медиана),
BO — общая сторона ABO и CBO.
ABO = CBO по 3-му признаку.
Следовательно: ABO = CBO.
BO — биссектриса.

AOC — развернутый угол = 180°.
AOB = COB =

180 °
2

= 90° .
BO — высота.

• в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой;

Читайте также:  Web rts что это

• в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Признаки равнобедренного треугольника:

• если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

• если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный;

• если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный;

• если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой,
то этот треугольник равнобедренный.

Содержание:

  1. Свойства равнобедренного треугольника.
  2. Признаки равнобедренного треугольника.
  3. Формулы равнобедренного треугольника:
    • формулы длины стороны;
    • формулы длины равных сторон;
    • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

    Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

    АВ = ВС — боковые стороны

    Свойства равнобедренного треугольника

    Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

    Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    Доказательство теоремы:

    Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

    Боковые стороны равны АВ = ВС,

    Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

    Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

    • Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
    • Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
    • Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

    Доказательство теоремы:

    • Дан Δ ABC.
    • Из точки В проведем высоту BD.
    • Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD.Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
    • Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
    • В Δ ABDи ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD(из Теоремы 1).
    • АВ = ВС — боковые стороны равны.
    • Стороны АD = СD, т.к. точка Dотрезок делит пополам.
    • Следовательно Δ ABD =ΔBCD.
    • Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

    Вывод:

    1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
    2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
    3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
    Читайте также:  Гнездо для микрофона в ноутбуке

    Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

    • Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    Доказательство теоремы:

    Доказательство от противного.

    • Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
    • Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
    • Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

    Признаки равнобедренного треугольника

    1. Если в треугольнике два угла равны.
    2. Сумма углов треугольника 180°.
    3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
    4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
    5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

    Формулы равнобедренного треугольника

    Формулы сторон равнобедренного треугольника

    • b — сторона (основание)
    • а — равные стороны
    • a — углы при основании
    • b — угол образованный равными сторонами

    Формулы длины стороны (основания — b):

    • b = 2a sin( eta /2)= a sqrt
    • b = 2a cos alpha

    Формулы длины равных сторон(а):

    Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

    • L — высота=биссектриса=медиана
    • b — сторона (основание)
    • а — равные стороны
    • a — углы при основании
    • b — угол образованный равными сторонами

    Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

    Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

    Площадь равнобедренного треугольника

    • b — сторона (основание)
    • а — равные стороны
    • h — высота
    Читайте также:  Безлимитный гугл диск для студентов

    Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector