Метод неопределенных коэффициентов интеграл

Метод неопределенных коэффициентов интеграл

1) Проверить, правильная ли дробь. Если дробь неправильная, то необходимо представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.

2) Знаменатель правильной дроби разложим на простейшие множители вида и .

3) Правильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби:

, (1)

где неопределенные коэффициенты, которые нужно вычислить.

4) Для вычисления неопределенных коэффициентов приводим равенство (1) к общему знаменателю, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества, и решаем систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Тем самым интегрирование рациональной дроби сводим к интегрированию суммы простейших рациональных дробей.

Задача 1. Определить, правильная ли дробь:

Задача 2. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби неправильную дробь:

Решение. Дробь неправильная, т.к. степень числителя больше степени знаменателя.

Разделим числитель на знаменатель по правилу деления многочленов.

.

Задача 3. Найти интеграл: .

Решение. 1. Дробь правильная, т.к. степень числителя меньше степени знаменателя.

2. Разложим знаменатель на простейшие множители:

;

два действительных корня.

.

3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух простейших дробей:

.

4. Найдем коэффициенты А и В. Для этого приведем дроби к общему знаменателю и воспользуемся правилом равенства дробей:

;

Приравниваем коэффициенты при х и свободные члены. Составим систему уравнений и найдем А и В:

.

Решив систему, получили . Таким образом:

.

.

Задача 4. Найти интеграл: .

Решение. 1. Дробь правильная. Знаменатель разложен на множители.

2. Правильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби по формуле (1):

.

3. Найдем коэффициенты А, В, С. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

По правилу равенства дробей:

Приведем подобные члены в правой части тождества:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены в левой и правой части. Так как в левой части нет , то его коэффициент равен 0 .

Читайте также:  Как открыть h264 с видеорегистратора

.

Таким образом, решив систему, получим:

.

;

.

Задача 5. Найти интеграл методом неопределенных коэффициентов:

.

Решение. 1. Дробь правильная.

2. Разложим знаменатель на множители:

.

3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух простейших дробей:

.

4. Найдем коэффициенты А, В, С:

Приравниваем коэффициенты при и свободные члены. Так как в левой части нет , то их коэффициенты равны 0.

.

.

.

Задача 6. Найти интегралы методом неопределенных коэффициентов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Задание для самостоятельной работы

Задача 7. .

Задача 8. .

Задача 9. .

Задача 10. .

Указание. Подынтегральную функцию представить в виде суммы многочлена и правильной дроби (см. задачу 2). Правильную дробь разложить на множители, используя метод неопределенных коэффициентов, проинтегрировать.

Задача 11. Найти интеграл: .

Указание. а) знаменатель разложить на множители (разность кубов);

б) используя метод неопределенных коэффициентов, получить два интеграла 1 и 3 типов;

в) проинтегрировать по алгоритму.

Задача 12. Найти интеграл: .

Найти интегралы, используя метод неопределенных коэффициентов:

Задача 13. .

Задача 14. .

Задача 15. .

Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; Нарушение авторского права страницы

Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении

используется метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства — $Q_(x)$, в числителе левой части получим некоторый многочлен $R_(x)$ с неизвестными коэффициентами;

используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, то значит, равны и числители:

два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. В результате получаем систему для определения неизвестных коэффициентов.

Читайте также:  Программа для репоста в инстаграм

Задание. Разложить рациональную дробь $frac<2>-5 x+6>$ на простые дроби.

Решение. Так как корнями знаменателя являются значения $x_<1>=2$, $x_<2>=3$, то его можно разложить на множители следующим образом:

Искомое разложение имеет вид:

Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:

$Rightarrow x+3=(A+B) x-3 A-2 B$

Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:

Отсюда, искомое разложение:

Метод неопределенных коэффициентов позволяет проинтегрировать любую рациональную дробь. При этом могут получиться лишь многочлены, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Второй способ нахождения коэффициентов

Второй способ нахождения искомых коэффициентов состоит в том, что в получаемом относительно $x$ тождестве аргументу $x$ придают значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов. Данный метод более удобен, если корни знаменателя некратные. На практике чаще всего используется комбинация обоих способов.

Задание. Представить в виде суммы элементарных дробей дробь $frac<2>-5 x+6>$

Решение. Как уже было показано, относительно переменной $x$ получено следующее равенство:

Если дробь неправильная (т.е. степень () больше степени ()), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

Разложить знаменатель () на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов ;

Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно.

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя () больше степени знаменателя ()), разделим многочлен () на (.) Получим следующее выражение: [frac<><> = Fleft( x
ight) + frac<><>,] где (largefrac<><>
ormalsize) − правильная рациональная дробь.

Запишем многочлен знаменателя () в виде [ = <<left(
ight)^alpha > cdots <left(

ight)^eta > <left( <+ px + q>
ight)^mu > cdots <left( <+ rx + s>
ight)^
u >,> ] где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Читайте также:  Transcend t sonic 650

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель () и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями (x.) В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов (,) (,) (,) (,) (,) (, ldots) Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов .

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector