Последние цифры степеней проект

Последние цифры степеней проект

Учебный год: 2009 / 2010

Материалы работы: 580921.zip * (37,7 кБ)

Описание работы:

Суть работы заключается в том, чтобы найти быстрый способ вычисления одной или двух последних цифр любого числа в любой степени.

Презентацию на тему "Последняя цифра степени" можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Математика. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад — нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 7 слайд(ов).

Слайды презентации

Последняя цифра степени

Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 2?

Через четыре шага последняя цифра повторяется.

Последняя цифра 6.

Какой цифрой оканчивается сумма

? Последняя цифра 8. Последняя цифра 4.

Последняя цифра данной суммы 2.

Докажите, что значение выражения

Последняя цифра данной суммы 0.

Значит, значение данного выражения кратно 10.

Докажите, что число

Последняя цифра данной суммы 5.

Значит, данное число кратно 5, т.е. составное.

На доске написано число .

У этого числа вычислили сумму его цифр, у полученного числа вновь вычислили сумму его цифр и т.д. до тех пор, пока не получилось однозначное число. Что это за число?

Примечание: 1-й слайд является иллюстрацией к вопросу о последней цифре степени числа 2. Здесь приводится также пример, как определить последнюю цифру числа , а с его помощью и последнюю цифру числа . На следующих слайдах представлены элементы решения некоторых задач, представленных в работе. Все необходимые комментарии вы найдёте в самой работе.

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

ХIII городская научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку» Возрастная категория: «Юный исследователь»

Секция: алгебра и геометрия

Исследовательский проект на тему

Карпачёв Денис Олегович,

ученик 9 «Б» МБУ «Школа № 70»

г.о. Тольятти Самарской обл.

Владимирова Ольга Ивановна,

учитель математики МБУ «Школа № 70»

г.о. Тольятти Самарской обл.

Готовясь к различным олимпиадам и конкурсам по математике, часто встречаются задания типа: “Какой цифрой оканчивается данное число?”

Решая такие задания, возникла тема исследования: “какой же будет последняя цифра натурального числа, взятого в любой степени? Имеется ли какая-либо закономерность в том, как изменяется последняя цифра натурального числа в зависимости от степени?”

Цель работы: нахождение закономерности изменения последних цифр степени с изменением её показателя, упорядочивание полученных результатов в таблицу, составление алгоритмов для решения задач “Последняя цифра числа”.

Методы исследования: метод сравнения, метод обобщения, метод аналогии.

Результатом работы является нахождение закономерности в последних цифрах степени и составлении наглядной таблицы, показывающей данную закономерность.

Таблица последних цифр степеней:

С помощью таблиц, составленных мною, я смог определить особенности изменения последних цифр степени. Эти особенности помогли мне в решении многих задач.

Читайте также:  Как восстановить переписку в телеграм

Список ключевых слов

Последняя цифра степени

“ Все, что познается, имеет число,

ибо невозможно ни понять ничего,

ни познать без него.”

Готовясь к различным олимпиадам и конкурсам по математике, часто встречаются задания типа: “Какой цифрой оканчивается данное число?”

Решая такие задания, возникла тема исследования: “какой же будет последняя цифра натурального числа, взятого в любой степени? Имеется ли какая-либо закономерность в том, как изменяется последняя цифра натурального числа в зависимости от степени?”

Цель работы: нахождение закономерности изменения последних цифр степени с изменением её показателя, упорядочивание полученных результатов в таблицу, составление алгоритмов для решения задач “Последняя цифра числа”.

Результатом работы является нахождение закономерности в последних цифрах степени и составлении наглядной таблицы, показывающей данную закономерность.

Актуальность темы заключается в необходимости поиска решений олимпиадных задач, так как все чаще можно встретить данные задания в конкурсах различного уровня.

Результаты, полученные мною, могут быть использованы педагогами и учениками для подготовки к урокам, факультативам и олимпиадам.

Давайте же выясним: есть ли какая-нибудь закономерность в том, как происходит изменение последней цифры натурального числа.

Для нахождения данной закономерности составим таблицу, где N –натуральное основание степени, а n – натуральный показатель степени.

Для большей наглядности составим таблицу, где будут записаны только последние цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел в данных степенях (таблица 2)

Посмотрев на полученную таблицу можно увидеть некоторые закономерности и особенности:

В каждом четвёртом столбце таблицы (для удобства они выделены одним цветом) последняя цифра одинакова. То есть последние цифры числа, взятого в 5, 9, 13…, или во 2, 6, 10…, или в 3, 7, 11…, или в 4, 8, 12… степени будут совпадать.

Также получаем, что любая степень натуральных чисел, оканчивающихся на 0, 1, 5, 6 заканчивается соответственно на 0, 1, 5, 6.

Последние цифры степени чисел, основания которых оканчиваются на одну и ту же цифру, и имеющие одинаковые показатели, равны.

При возведении 4 в чётную натуральную степень получим 6 в конце данного числа, а при возведении в нечётную натуральную степень получим 4 в конце данного числа.

Аналогичная особенность наблюдается и у числа 9. Так как при возведении этого числа в чётную натуральную степень мы получим 1 в конце данного числа, а при возведении в нечётную натуральную степень мы получим 9 в конце данного числа.

Немаловажной особенностью является и то, что квадрат любого числа может оканчиваться только на: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Но куб числа может оканчиваться любой цифрой.

В зелёных столбцах у чётных чисел квадрат оканчивается 6, а у нечётных чисел на 1. Исключениями являются числа, оканчивающиеся на 0 и 5.

Читайте также:  Самые лучшие машины в most wanted 2012

Найдя данные закономерности, мы можем приступить к решению простых задач…

48 : 4 = 12 (остаток 0)

24 : 4 = 6 (остаток 0)

100 : 4 = 25 (остаток 0)

Данное решение следует из последней, указанной мною, закономерности. Если остаток показателя степени кратен 4, то если бы я продлил таблицу до данного показателя, то столбец под этим показателем был бы зелёным, что следует из первой, указанной мною, закономерности. Далее необходимо было определить чётность или нечётность основания степени, и исходя из найденных данных, найти ответ.

Но что делать, если остаток показателя степени не кратен 4? Проанализировав данные, я смог подойти к решению и этой задачи.

Если остаток от деления показателя на 4 равен 1, то последней цифрой числа будет последняя цифра основания степени;

Если остаток от деления показателя на 4 равен 2, то последней цифрой числа будет квадрат последней цифры основания степени;

Если остаток от деления показателя на 4 равен 3, то последней цифрой числа будет куб последней цифры основания степени;

Убедиться в этом можно рассмотрев несколько примеров, где остаток от деления показателя степени не кратен 4.

97 : 4 = 24 (остаток 1)

50 : 4 = 12 (остаток 2)

102 : 4 = 25 (остаток 2)

1003 : 4 = 250 (остаток 3)

303 : 4 = 75 (остаток 3)

То есть, для нахождения последней цифры степени с натуральным показателем, необходимо найти остаток от деления показателя данной степени на 4. Далее, необходимо воспользоваться предоставленными мною выше этапами.

Научившись решать задачи и найдя большое количество свойств и закономерностей с последней цифрой степени, меня заинтересовал вопрос: «Как же будут изменяться две последние цифры степени, с изменением её показателя?»

Глядя на эту таблицу, видно, что период повторения двух цифр имеется, но он намного больше, чем период повторения последней цифры, и равен 20.

Последние две цифры числа 7 повторяются с периодом 4;

Любая натуральная степень чисел 5 (кроме показателя 1) и 25 оканчивается на 25;

Последние две цифры числа 6 повторяются с периодом 5, причём 6 не входит в период, то есть более не повторяется;

Последние две цифры чисел 4 и 9 повторяются с периодом 10;

Любая чётная степень 15 оканчивается на 25, а нечётная (кроме показателя 1) на 75;

Период числа 11 равен 10, где число десятков равно числу единиц показателя степени.

Интересна 20 столбец, так как в нём у всех чётных оснований две последние цифры – 76, а у нечётных – 01. Исключениями являются цифры, оканчивающиеся на 0 ли 5.

Узнав весь теоретический материал, излагаемый мной в этой работе, я предложу несколько более сложных задач с объяснением их решения.

В книге рекордов Гиннеса было написано, что наибольшее известное простое число: (Опечатка, так как число оканчивается 1, следовательно, данное число оканчивается на 0 и потому делится на 10, что противоречит написанному).

Читайте также:  Холкон что это такое в матрасе отзывы

Найдите две последние цифры суммы + + + · · · + + . (для решения данной задачи необходимо найти две последние цифры суммы степеней с основаниями от 1 до 10 и помножить полученный результат на 10, так как сумма степеней с основаниями от 1 до 10 равно сумме оснований от 11 до 20, от 21 до 30, от 31 до 40… т.к. последние цифры оснований степеней совпадают (1,11,21,31…) и их показатели равны. Находим сумму искомую сумму из таблицы 3, предоставленной выше: 1+76+1+76+25+76+1+76+1+0=333, следовательно, две последние цифры – 33.

Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10. (Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.)

В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

(Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8. То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.)

Делится ли число 47 30 +39 50 на 10?

(Число 47 30 оканчивается цифрой 9, а число 39 50 — цифрой 1. Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)

Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

(Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.)

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector