Предельная функция функциональной последовательности

Предельная функция функциональной последовательности

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве , то говорят, что на множестве задана функциональная последовательность . Множество называется областью определения последовательности .

Если для некоторого числовая последовательность сходится, то говорят, что последовательность функций сходится в точке . Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке , называют сходящейся на множестве .

Если для всех , то говорят, что последовательность на множестве сходится к функции . Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть задана последовательность функций и предельная функция . Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве к функции если
$$forall varepsilon >0 quad exists n_< varepsilon >in mathbb: forall n ge n_varepsilon forall x in E Rightarrow left|f_n(x)-f(x)
ight| 0" /> мы можем выбрать номер , начиная с которого все последующие члены ряда будут меньше , . Значит последовательность сходится равномерно к нулю на .

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве . Формально говоря нам дана функциональная последовательность .

Выражение вида называется функциональным рядом. Если для некоторого числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд сходится в точке . Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке , называют сходящимся на множестве .

Сумма первых членов ряда называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность .

Изучим сходимость ряда
$$x^2 + frac <1+x^2>+ dots + frac <(1+x^2)^n>+ dots,$$
Где — действительное число. Этот ряд сходится при всех . При мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , . Таким образом:
$$x^2 + frac <1+x^2>+ dots + frac <(1+x^2)^n>+ dots = frac<1-frac<1><1+x^2>> = 1 + x^2 .$$
При каждый член ряда равен нулю и тогда сумма всего ряда равна нулю.

Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть задан функциональный ряд , члены которого являются функциями, определенными на множестве . Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве , если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве . Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция , что
$$forall varepsilon >0 quad exists n_< varepsilon >in mathbb: forall n ge n_varepsilon forall x in E Rightarrow left|S_n(x)-S(x)
ight| 0 quad exists n_< varepsilon >in mathbb
: forall n ge n_varepsilon forall x in E Rightarrow left|r_n(x)
ight| 0 quad exists n_< varepsilon >in mathbb
: forall n ge n_varepsilon forall x in E Rightarrow left|S_n(x)-S(x)
ight| 0

Читайте также:  Canon eos 750d kit 18 55mm

Дана функциональная последовательность $%f_n(x)$% на множестве $%E$%. Найти предельную функцию последовательности.

Нашла такой алгоритм(не знаю точно правильный ли он)

  1. Найти поточечный предел последовательности.
  2. Для каждого члена последовательности найти супремум (максимум) модуля разности этого члена и поточечного предела. Получится последовательность супремумов.
  3. Равномерная сходимость равносильна сходимости к 0 этой последовательности супремумов (максимумов).

1) $%lim_ (x^n−3x^+2x^)=infty -infty+infty$% подскажите пожалуйста

2)Найдём супремум (максимум) модуля разности

Поэтому максимум модуля достигается в точках x= подскажите пожалуйста как это найти

задан 28 Авг ’16 0:38

s1mka
1.2k ● 8 ● 41
98&#037 принятых

Заметим, что для данного ряда выполнены условия 1) и 3) признака Дирихле, но в то же время, требование монотонности числовой последовательности для любого x 0 X не выполнено.

Теорема 2.12 (о пределе предельной функции). Пусть последовательность равномерно сходится на множестве X к функции f(x), a — предельная точка множества X и для всех n N существу-

ет конечный предел lim f n (x) = a n . Тогда последовательность

сходится, существует конечный предел функции f(x) в точке a и

lim f(x) = lim a n то есть

lim lim f n (x) = lim lim f n (x).

Прежде всего докажем, что последовательность является сходя-

щейся. По условию f n (x) f(x), поэтому, в силу теоремы 2.5,

ε > 0 N = N(ε) N : |f n+p (x) − f n (x)| 2 , n > N, p N, x X.

Переходя в этом неравенстве к пределу при x → a, получим, что

|a n+p − a n | ≤ 2 N, p N.

Из критерия Коши сходимости числовой последовательности следует, что сходится.

Пусть lim a n = d. Докажем, что существует lim f(x) = d. Зафикси-

руем ε > 0 Очевидно, что для любого x X и любого n 0 N

|f(x) − d| = |f(x) − f n 0 (x) + f n 0 (x) − a n 0 + a n 0 − d| ≤

≤ |f(x) − f n 0 (x)| + |f n 0 (x) − a n 0 | + |a n 0 − d|.

Так как lim a n = d и f n (x) f(x), то N = N(ε) :

Если n 0 > N, то для него выполняются все предыдущие неравен-

|f n 0 (x) − a n 0 | T U a .

всех x X T U a имеет место

|f(x) − d| равномерно сходится на множестве X к функции f(x) и a X. Если все функции f n (x) непрерывны в точке a , то предельная функция f(x) непрерывна в точке a.

Если a X и является изолированной точкой множества X, то f(x) непрерывна в ней. Если a X и является предельной точкой множества X, то в силу непрерывности функции f n (x) в точке a

Читайте также:  Записать песни на плеер

lim f n (x) = f n (a), n N.

Поскольку выполнены все условия теоремы 2.12, то

lim f(x) = lim f n (a) = f(a),

что означает непрерывность функции f(x) в предельной точке a.

Cледствие 1. Если последовательность непрерывных на множестве X функций сходится равномерно на X, то её предельная функция непрерывна на X.

Cледствие 2 . Пусть функциональная последовательность поточечно сходится к функции f(x) на множестве X и f n (x) C(X),

n N. Если функция f(x) не является непрерывной на X, то f n (x) 6 f(x).

Теорема 2.14 (о пределе суммы функционального ряда). Пусть

функциональный ряд f n (x) равномерно сходится на множестве X

и его сумма равна S(x), a — предельная точка множества X , и су-

ществует конечный предел lim f n (x) = c n , n N. Тогда числовой

сходится, существует предел lim S(x) и

Замечание. Теорему 2.14 часто называют теоремой о почленном переходе к пределу в функциональном ряде.

Так как последовательность частичных сумм функционального ряда равномерно сходится на множестве X к функции S(x) и

то по теореме 2.12 последовательность <

c k > сходится и существует

— частичные суммы ряда (2.9), поэтому последнее равенство

доказывает и сходимость ряда (2.9), и равенство (2.10) .

Теорема 2.15 (о непрерывности суммы функционального ряда).

Если функциональный ряд f n (x) равномерно сходится на множе-

стве X , a X и функции f n (x) непрерывны в точке a (на множестве X ), то сумма ряда непрерывна в точке a (на множестве X ).

Теорема следует из теоремы 2.14 с учётом определения непрерывности функции в точке.

Cледствие. Если функциональный ряд непрерывных на множестве X функций поточечно сходится на X и сумма ряда не является непрерывной на X функцией, то рассматриваемый ряд сходится неравномерно на множестве X .

Требование равномерной сходимости ряда существенно для справедливости теоремы 2.15 и ее следствия. Для подтверждения сказанного рассмотрим пример.

Пример 2.9. Исследовать на равномерную сходимость на [−1, 1] ряд

Отметим, что члены ряда составляют геометрическую прогрессию со

и первым членом a 1 (x) =

q n (0) = 0, n N, то исходный ряд сходится в каждой точке из R.

Докажем, что данный ряд на отрезке [−1, 1] сходится неравномерно.

Действительно, R n (0) = 0, а при x 6= 0

и по теореме 2.4 исходный ряд сходится неравномерно на отрезке [−1, 1].

Доказать неравномерную на отрезке [−1, 1] сходимость ряда можно иначе. Пользуясь формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем, что

Читайте также:  Робот пылесос сяоми видео обзор

Сумма S(x) терпит разрыв в точке x = 0, хотя члены ряда непрерывны на R. Нужный результат теперь следует из следствия теоремы 2.15.

Отметим еще, что требование равномерной сходимости ряда непрерывных на X функций является достаточным, но не необходимым усло-

вием непрерывности суммы ряда. Например, ряд

имеет на отрезке [0, 1] сумму S(x) = 0, члены ряда непрерывны на [0, 1], а сходится ряд неравномерно на [0, 1], поскольку для его частичных сумм имеет место неравенство

из которого следует, что S n (x) 6 0.

Однако, в некоторых случаях равномерная сходимость последовательности или ряда на множестве X является необходимым условием непрерывности предельной функции (суммы ряда) на X.

Теорема 2.16 (Дини). Пусть последовательность не убывает (или не возрастает) в каждой точке x замкнутого ограниченного множества X R и сходится на X к функции f(x) . Если функция f(x) и все функции f n (x) непрерывны на X , то последовательность равномерно сходится на множестве X к f(x) .

Для определённости будем считать, что последовательность не убывает в каждой точке x X. Положим r n (x) = f(x) − f n (x). Последовательность обладает следующими свойствами:

1) функции r n (x) неотрицательны и непрерывны на компакте X;

2) в каждой точке x X последовательность не возрастает;

3) в каждой точке x X существует предел n lim →∞ r n (x) = 0.

Докажем, что сходимость последовательности к r(x) = 0 на X является равномерной. Воспользуемся методом "от противного". Допустим, что последовательность сходится к функции r(x) = 0

на X неравномерно, то есть для некоторого ε 0 > 0 и любого N N найдётся n > N и точка x n из множества X такая, что r n (x n ) ≥ ε 0 . В силу ограниченности множества X и леммы Больцано-Вейерштрасса, из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке c X, поскольку X — замкнутое множество. По условию функции r n (x) непрерывны в точке c, поэтому

r n (x n k ) → r n (c) при k → ∞, n N.

Поскольку r n k (x n k ) ≥ ε 0 , а последовательность не возрастает в каждой точке x X, то, выбирая для каждого m N любой номер n k > m, будем иметь неравенство r m (x n k ) ≥ r n k (x n k ) ≥ ε 0 . Переходя в последнем неравенстве к пределу при k → +∞, получим, что

r m (c) ≥ ε 0 , m N,

чего быть не может, так как r m (c) → 0 при m → +∞. Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание 1. Требование монотонности числовой последовательности в точках множества X существенно для справедливости тео-

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector