Приведение матрицы к жордановой форме

Приведение матрицы к жордановой форме

Задача приведения матрицы к жордановой форме формулируется следующим образом. Требуется привести квадратную матрицу [math]A[/math] к жордановой форме [math]J_A[/math] при помощи преобразования подобия: [math]J_A=S^<-1>AS[/math] , т.е.

найти жорданову форму [math]J_A[/math] квадратной матрицы [math]A[/math] <первый этап);

найти преобразующую матрицу [math]S[/math] (второй этап), для которой

В некоторых прикладных и теоретических задачах достаточно определить только жорданову форму матрицы, т.е. ограничиться первым этапом. Однако чаще кроме жордановой формы [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math] требуется также найти и преобразующую матрицу [math]S[/math] , т.е. выполнить оба этапа.

Нахождение жордановой формы матрицы

Для нахождения жордановой формы [math]J_A[/math] квадратной матрицы [math]A[/math] нужно выполнить следующие действия.

1. Составить характеристическую матрицу [math](A-lambda E)[/math] .

2. Найти ее инвариантные множители (7.33) одним из способов, рассмотренных ранее.

3. По инвариантным множителям (7.33) составить таблицу (7.34) элементарных делителей.

4. По элементарным делителям составить жорданову форму [math]J_A[/math] .

Нахождение преобразующей матрицы

Рассмотрим два способа нахождения преобразующей матрицы.

Первый способ. Если жорданова форма [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math] известна, то для нахождения преобразующей матрицы [math]S[/math] нужно выполнить следующие действия.

1. Составить матричное уравнение [math]SJ_A=AS[/math] относительно неизвестной матрицы [math]S[/math] , которое равносильно однородной системе [math]n^2[/math] линейных уравнении с [math]n^2[/math] неизвестными элементами [math]s_[/math] матрицы [math]S[/math] .

2. Найти такое частное решение этой системы уравнений, для которого [math]det
e0[/math] .

Второй способ. Для нахождения преобразующей матрицы [math]S[/math] можно использовать следствие теоремы 7.7.

1. Составить блочную λ -матрицу [math](A-lambda Emid E)[/math] , приписав к характеристической матрице [math](A-lambda E)[/math] единичную матрицу того же порядка. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый блок к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду [math]eginLambda(lambda)!!&vline!!&S_A(lambda)end[/math] , где [math]Lambda(lambda)=operatorname(e_1(lambda),ldots,e_n(lambda))[/math] — матрица нормального диагонального вида, эквивалентная матрице [math](A-lambda E)[/math] , a [math]S_A(lambda)[/math] — некоторая элементарная λ -матрица.

2. Составить блочную λ -матрицу [math](J_A-lambda Emid E)[/math] , приписав к характеристической матрице [math](J_A-lambda E)[/math] единичную матрицу того же порядка. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести ее левый блок к нормальному диагональному виду (7.9). При этом блочная матрица преобразуется к виду [math]eginLambda(lambda)!!&vline!!&S_J(lambda)end[/math] , где [math]Lambda(lambda)=operatorname(e_1(lambda),ldots,e_n(lambda))[/math] -такая же матрица, что и в пункте 1, а [math]S_J(lambda)[/math] — некоторая элементарная λ -матрица.

3. Найти λ -матрицу [math]S(lambda)=S_J^<-1>(lambda)cdot S_A(lambda)[/math] .

4. Вычислить левое значение [math]S_< ext>(J_A)[/math] при замене переменной [math]lambda[/math] матрицей [math]J_A[/math] .

5. Найти преобразующую матрицу [math]S[/math] , обращая матрицу [math]S_< ext>(J_A)colon

Действительно, при помощи элементарных преобразований характеристические матрицы [math](A-lambda E)[/math] и [math](J_A-lambda E)[/math] приводятся к одному и тому же нормальному диагональному виду [math]Lambda(lambda):[/math]

Отсюда [math]J_A-lambda E=S_J^<-1>(lambda)S_A(lambda)(A-lambda E)T_A(lambda)T_J^<-1>(lambda)[/math] , то есть

Согласно следствию теоремы j? 7.6, преобразующая числовая матрица [math]S=[S_< ext>(J_A)]^<-1>[/math] , т.е. [math]S[/math] — это матрица, /Обратная к левому значению λ -матрицы [math]S_< ext>(J_A)[/math] при подстановке вместо [math]lambda[/math] матрицы [math]J_A[/math] .

1. Несмотря на простоту, первый способ мало пригоден из-за большого Объема вычислений. Количество решаемых уравнений [math]n^2[/math] .

2. Второй способ позволяет полностью решить задачу приведения матрицы к жордановой форме. Выполняя пункт 1, находим нормальный диагональный вид [math]Delta(lambda)= operatorname(e_1(lambda),ldots,e_n(lambda))[/math] характеристической матрицы [math](A-lambda E)[/math] , и, как следствие, ее инвариантные множители [math]e_1(lambda),ldots,e_n(lambda)[/math] . Тогда выполняя пункты 3, 4 алгоритма нахождения жордановой формы, получим жорданову форму [math]J_A[/math] матрицы [math]A[/math] . Далее выполняем пункты 2, 3 второго способа и находим преобразующую матрицу.

3. В пунктах 1,2 второго способа λ -матрицы, стоящие в левых блоках матриц [math](A-lambda Emid E)[/math] и [math](J_A-lambda Emid E)[/math] , приводятся к нормальному диагональному виду при помощи элементарных преобразований над строками и над столбцами. При этом правые блоки этих матриц "учитывают" только преобразования строк, в отличие от алгоритма, описанного в пункте 5 замечаний 7.4.

Читайте также:  Сравнение volkswagen touran или skoda fabia

4. Преобразующая матрица [math]S[/math] в (7.39) определяется неоднозначно. В самом деле, если [math]S[/math] — преобразующая матрица, а [math]M[/math] — невырожденная матрица, перестановочная с [math]A[/math] [math](AM=MA)[/math] , то матрица [math]T=MS[/math] будет также преобразующей. Действительно, матрица [math]T[/math] — обратимая и

Первый способ нахождения преобразующей матрицы, вообще говоря, позволяет найти все такие матрицы, перебирая в пункте 2 подходящие частные решения однородной системы. Второй способ позволяет найти одну преобразующую матрицу из этого множества. Как правило, на практике достаточно найти хотя бы одну преобразующую матрицу.

5. Задачу приведения матрицы к диагональному виду можно считать частным случаем задачи приведения матрицы к жордановой форме. Если квадратная матрица [math]A[/math] n-го порядка имеет [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов, то, как это следует из теоремы 7.5, ее жорданова форма [math]J_A[/math] является диагональной матрицей (с собственными значениями на главной диагонали), а преобразующая матрица [math]S[/math] может быть составлена из [math]n[/math] линейно независимых собственных векторов матрицы [math]A[/math] .

Пример 7.15. Привести к жордановой форме следующие матрицы:

Решение. Матрица [math]A[/math] . Первый этап — нахождение жордановой формы матрицы [math]A[/math] .

1. Составляем характеристическую матрицу [math]A-lambda E= egin4-lambda&4\ -1&-lambdaend[/math] .

2. Инвариантные множители будем искать по формуле (7.11). Записываем миноры 1-го порядка: [math]M_<<>_1>^<<>^1>=4-lambda,[/math] [math]M_<<>_2>^<<>^1>=4,[/math] [math]M_<<>_1>^<<>^2>=-1,[/math] [math]M_<<>_2>^<<>^2>=-lambda[/math] . Находим наибольший общий делитель этих многочленов: [math]d_1(lambda)=1[/math] . Минор второго порядка равен определителю характеристической матрицы [math]M_<<>_<1,2>>^<<>^<1,2>>= egin4-lambda&4\ -1&-lambda end=(lambda-2)^2[/math] . Следовательно, [math]d_2(lambda)=(lambda-2)^2[/math] . Таким образом, по формуле (7.11) получаем

3. По инвариантным множителям составляем таблицу (7.34) элемен тарных делителей. Так как собственное значение матрицы единственное [math](lambda_1=2)[/math] , то таблица (7.34) состоит из одной строки (и одного столбца): [math](lambda-2)^2[/math] .

4. Единственному элементарному делителю [math](lambda-2)^2[/math] соответствует од на жорданова клетка 2-го порядка, образующая жорданову форму матрицы [math]Acolon

Второй этап — нахождение преобразующей матрицы. Воспользуемся первым способом.

1. Составляем матричное уравнение [math]SJ_A=AS

Rightarrow, eginx&y\z&w end!cdot! egin2&1\0&2end= egin4&4\-1&0end !cdot! eginx&y\z&wend[/math] . Перемножая матрицы, получаем однородную систему уравнений относительно элементов искомой матрицы [math]S=eginx&y\ z&wendcolon[/math]

2. Решаем эту систему. Расширенную матрицу системы приводим к ступенчатому, а затем к упрощенному виду:

где [math]A’=egin2&0\1&2end[/math] . Находим фундаментальную матрицу [math]Phi[/math] и общее решение:

Следовательно, любая преобразующая матрица имеет вид

где [math]C_1,,C_2[/math] — произвольные постоянные, но [math]C_1
e0[/math] , так как матрица [math]S[/math] невырожденная:

Например, при [math]C_1=-1,

C_2=0[/math] получаем [math]S=egin2&1\-1&0 end[/math] .

Используем второй способ нахождения преобразующей матрицы.

Составляем блочную матрицу: [math](A-lambda Em >. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками и над столбцами этой блочной матрицы, приводим левый блок к нормальному диагональному виду. Меняем местами строки и умножаем первую строку на (-l). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы в первом столбце и в первой строке левого блока:

2. Составляем блочную матрицу и приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду

Следовательно, [math]S_J(lambda)=egin1&0\ lambda-2&1end[/math] .

3. Обращаем матрицу [math]S_J^<-1>(lambda)=frac<1><det>cdot S_J^<+>(lambda)= frac<1><1>cdot! egin1&0\2-lambda&1end[/math] . Находим λ -матрицу, которая оказалась не зависящей от [math]lambda:[/math]

4. Так как λ -матрица [math]S(lambda)[/math] оказалась числовой, то [math]S_< ext>(J_A)=egin 0&-1\1&2end[/math] .

5. Находим преобразующую матрицу [math]S=[ S_< ext>(J_A)]^<-1>= egin0&-1\1&2end^<-1>= egin 2&1\-1&0 end[/math] . Такой же результат, как частный случай, был получен первым способом.

Матрица [math]B[/math] . Будем искать преобразующую матрицу [math]S[/math] вторым способом. При этом попутно найдем и жорданову форму [math]J_B[/math] матрицы [math]B[/math] (см. пункт 2 замечаний 7.7).

1. Составляем блочную матрицу: [math](B-lambda Em >

Выполняя элементарные преобразования над строками и над столбцами этой блочной матрицы, приводим левый блок к нормальному диагональному виду. Меняем местами первую и третью строки и умножаем первую строку на (-1). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы в первом столбце и в первой строке левого блока:

Читайте также:  Dawn of war 3 геймплей

Меняем местами второй и третий столбцы и умножаем вторую строку на (-1). Выбрав ведущий элемент, равный единице, делаем равными нулю остальные элементы во втором столбце и во второй строке левого блока:

Умножая третий столбец на (-1), получаем нормальную диагональную форму характеристической матрицы и матрицу [math]S_B(lambda):[/math]

Находим жорданову форму [math]J_B[/math] матрицы [math]B[/math] (см. пункт 2 замечаний 7.7). По инвариантным множителям [math]e_1(lambda)=e_2(lambda)=1,[/math] [math]e_3(lambda)= (lambda-1)^3[/math] составляем таблицу элементарных делителей. Таблица состоит из одного делителя [math](lambda-1)^3[/math] , которому соответствует одна жорданова клетка 3-го порядка (для собственного значения [math]lambda_1=lambda_2=lambda_3[/math] ):

2. Составляем блочную матрицу

Приводим левый блок этой матрицы к нормальному диагональному виду. Меняем местами столбцы левого блока

Выбираем ведущий элемент, равный единице, в левом верхнем углу. Делаем в левом блоке равными нулю все элементы ведущей (первой) строки и ведущего (первого) столбца, за исключением ведущего элемента:

Выбираем ведущий элемент, равный единице, на пересечении второго столбца и второй строки. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на [math](lambda-1)[/math] , а затем к третьему столбцу прибавляем второй, умноженный на [math](lambda-1)^2[/math] , и, наконец, умножаем третий столбец на (-1). В результате получим

Следовательно, [math]S_J(lambda)=egin1&0&0\ lambda-1&1&0\ (lambda-1)^2&lambda-1&1 end!,

3. Обращаем матрицу [math]S_J^<-1>(lambda)= frac<1><det>cdot S_J^<+>(lambda)= egin1&0&0\ 1-lambda&1&0\ 0&1-lambda&1end[/math] .

Находим λ -матрицу [math]S(lambda)=S_J^<-1>(lambda)cdot S_B(lambda):[/math]

Представляем λ -матрицу [math]S(lambda)[/math] в виде многочлена с матричными коэффициентами, ставя переменную [math]lambda[/math] перед коэффициентами:

Подставляем вместо аргумента [math]lambda[/math] матрицу [math]J_B:[/math]

5. Обращая полученную матрицу, находим преобразующую

Сделаем проверку, сравнивая левую и правую части равенства [math]SJ_B=BS:[/math]

Следовательно, равенство верное.

Матрица [math]C[/math] . Применяем второй способ нахождения преобразующей матрицы, попутно определяя жорданову форму [math]J_C[/math] матрицы [math]C[/math] (см. пункт 2 замечаний 7.7).

1. Составляем блочную матрицу:

Элементарными преобразованиями приводим левый ее блок к нормальному диагональному виду (см. пример 7.12). Меняем местами первый и третий столбцы, выбираем первую строку и первый столбец в качестве ведущих и делаем равными нулю все элементы выбранной строки (в пределах левого блока) и выбранного столбца, за исключением ведущего элемента:

Умножаем второй столбец на (-l), выбираем ведущими вторую строку и второй столбец, делаем равными нулю соответствующие элементы этой строки и столбца:

Умножим третий столбец на (-1), чтобы старший коэффициент многочлена был равен единице. Итак, получили матрицу [math]S_C(lambda)= egin 1&0&0\-1&1&0\ lambda-2&1&1 end[/math] и нормальный диагональный вид характеристической матрицы [math](C-lambda E)sim operatorname(1,lambda,lambda(lambda-3))[/math] . Составляем таблицу (7.33) инвариантных множителей:

Составляем таблицу (7.34) элементарных делителей: [math]eginlambda,&quad lambda,\ lambda-3.&quad <>end[/math] . Каждому из трех делителей соответствует жорданова клетка 1-го порядка (для собственных значений [math]lambda_1=lambda_2=0,[/math] [math]lambda_3=3[/math] ), т.е. жорданова форма матрицы [math]C[/math] — диагональная матрица:

2. Составляем блочную матрицу

Левый блок этой матрицы имеет диагональный вид, который не является нормальным, так как [math](3-lambda)[/math] не делится на [math](-lambda)[/math] . Прибавляем к первому столбцу третий, к третьей строке прибавляем первую, умноженную на (-1), меняем местами первую и третью строки:

Разделим первый столбец на 3, возьмем ведущий элемент, стоящий в левом верхнем углу, и сделаем равными нулю соответствующие элементы:

Умножив второй столбец на (-1), а третью строку на (-3), получим в левом блоке нормальный диагональный вид [math]Lambda(lambda)= operatorname(1,lambda,lambda^2-3 lambda)[/math] , а в правом блоке матрицу

3. Обращаем матрицу [math]S_J(lambda):[/math]

Находим λ -матрицу S(lambda)=S_J^<-1>(lambda)cdot S_C(lambda):

4. Представляем λ -матрицу [math]S(lambda)[/math] в виде многочлена с матричными коэффициентами, помещая переменную [math]A[/math] перед коэффициентами:

Читайте также:  Как проверить версию драйвера видеокарты

Подставляем вместо аргумента [math]lambda[/math] матрицу [math]J_C:[/math]

5. Обращая полученную матрицу, находим преобразующую

Сделаем проверку, вычислив матрицу [math]C=SJ_CS^<-1>:[/math]

Заметим, что в примере 7.10 эта матрица была приведена к диагональному виду. Поэтому, согласно пункта 5 замечаний 7.7, ее жорданова форма является диагональной, а преобразующая матрица составляется из линейно независимых собственных векторов:

Эта матрица [math]S[/math] отличается от найденной вторым способом. Но она тоже является преобразующей (проверка равенства [math]J_A=S^<-1>AS[/math] была фактически выполнена в примере 7.10).

Jordan Matrix Calculator

Tool to calculate the Jordan Normal Form of a Matrix (by Jordan reduction of a square matrix). The Jordan matrix is used in analysis, from a matrix M, the Jordan decomposition prov >

Answers to Questions

How to calculated the Jordan Normal Form for a matrix?

Take ( M ) a square matrix of size ( n ), which has for eigen values the set of ( lambda_n ).

Example: $$ M = egin 4 & 0 & 0 \ 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 2 end Rightarrow lambda_n = egin 3 \ 3 \ 3 end $$

A matrix ( M ) of size ( n imes n ) is diagonalizable if and only if the sum of the dimensions of its eigen spaces is ( n ).

If ( M ) is not diagonalisable, there exists an almost diagonal matrix ( J ), called Jordan Normal Form, of the form $$ egin lambda_i & 1 & ; & ; \ ; & lambda_i & ddots & ; \ ; & ; & ddots & 1 \ ; & ; & ; & lambda_i end $$

Example: Here, ( M ) has only 2 eigen vectors : ( v_1 = egin 1 \ 0 \ 0 end ) et ( v_2 = egin 0 \ 1 \ 1 end ), so is not diagonalizable, but has for Jordan matrix (canonical form) $$ M=egin 3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 1 \ 0 & 0 & 3 end $$

Example: Alternative method: calculate the matrix ( S ) by finding a third vector ( v_3 ) such as ( (M — 3 I_3) v_3 = k_1 v_1 + k_2 v_2 Rightarrow v_3 = egin 0 \ 1 \ 0 end ). So $$ S = egin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 0 end $$ and ( M = S . J . ar )

How to calculated a power of a Jordan matrix?

If ( M = SJS^ <-1>) Then ( M^k = SJ^kS^ <-1>) (see matrix powers).

Source code

dCode retains ownership of the source code of the script Jordan Normal Form Matrix online. Except explicit open source licence (indicated Creative Commons / free), any algorithm, applet, snippet, software (converter, solver, encryption / decryption, encoding / decoding, ciphering / deciphering, translator), or any function (convert, solve, decrypt, encrypt, decipher, cipher, decode, code, translate) written in any informatic langauge (PHP, Java, C#, Python, Javascript, Matlab, etc.) which dCode owns rights will not be released for free. To download the online Jordan Normal Form Matrix script for offline use on PC, iPhone or Android, ask for price quote on contact page !

Здравствуйте. У меня есть матрица $%A$%. Как можно её привести к виду $%A=CJC^<-1>$%, где $%J$% — жорданова матрица. И $%A^=CJ^C^<-1>$%?

задан 22 Май ’13 16:00

devnikor
49 ● 1 ● 4 ● 14
100&#037 принятых

1 ответ

О приведении матрицы к жордановой форме очень много где написано. Вот несколько ссылок: здесь есть сравнительно краткое описание, а здесь более подробное — с теорией и примерами.

отвечен 22 Май ’13 16:41

falcao
243k ● 1 ● 34 ● 48

Думаю, нахождение нормальной жордановой формы проблем не вызовет. Мне нужен был способ представить матрицу $%A$% в виде $%CJC^<-1>$%

По второй ссылке можно увидеть способ построения жорданова базиса. Тогда $%C$% будет матрицей перехода. (Это значит, что координаты базисных векторов надо записать в столбцы матрицы $%С$%.) При этом будет выполнено равенство $%C^<-1>AC=J$%, то есть то, что Вам нужно.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector