Признак дирихле для функциональных рядов

Признак дирихле для функциональных рядов

Содержание

Поточечная сходимость [ править ]

То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция — закон соответствия, который каждому [math]x in E[/math] сопоставляет некоторое число. При этом, все [math]x[/math] фигурировали изолированно.

Пусть на [math]E[/math] [math]f_n[/math] обладает свойством [math]P[/math] (например, непрерывность на [math]E[/math] ). И пусть для любого [math] x in E [/math] есть предел соответствующей числовой последовательности. Возникает вопрос: "Будет ли [math]f = limlimits_ f_n[/math] обладать свойством [math]P[/math] ?"

Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для [math] f [/math] свойство [math]P[/math] может отсутствовать.

Все [math]f_n[/math] непрерывны на [math][0; 1][/math] . [math]f_n(0) = 1 o 1[/math] , [math]f(0) = 1[/math] .

[math]0 lt x leq 1[/math] : [math]frac1n o 0[/math] . Тогда, начиная с некоторого [math]N[/math] , все [math]frac1N lt x Rightarrow f_n(x) = 0[/math]

Тогда [math]f[/math] будет разрывна в нуле, свойство непрерывности не сохранилось.

Равномерная сходимость [ править ]

Возникает вопрос: "Что ещё надо потребовать от поточечной сходимости, чтобы в пределе [math]P[/math] сохранилось?"

Классическое требование: равномерная сходимость.

Определение:
[math]f_1, f_2, ldots[/math] равномерно сходится к [math]f(x)[/math] , если

[math]forall varepsilon gt 0 exists N forall n gt N forall x in E : |f_n(x) — f(x)| lt varepsilon[/math]

Пишут, что [math]f_n
ightrightarrows f[/math] .

Определение:
Пусть на [math]E[/math] задан функциональный ряд [math]sumlimits_^infty f_n[/math] . Тогда он равномерно сходится к

[math]f = sum f_n[/math] , если

[math]forallvarepsilon gt 0 exists N forall n gt N forall x in E : |S_n(x) — f(x)| lt varepsilon[/math]

Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как их наиболее удобно использовать в математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.

Критерий Коши равномерной сходимости [ править ]

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости):
Доказательство:
[math] riangleright[/math]

[math]Longrightarrow[/math] Пусть ряд равномерно сходится.

[math]sumlimits_^m f_k = S_m — S_[/math]

[math]left|sumlimits_^m f_k
ight| = |(S_m — S) + (S — S_)|[/math] , где [math]S[/math] — сумма ряда. Тогда

[math]left|sumlimits_^m f_k(x)
ight| leq |S_m — S| + |S_ — S|[/math]

По определению равномерной сходимости, [math]forall varepsilon exists N forall p gt N forall x in E : |S_p(x) — S(x)| lt varepsilon[/math] .

[math]m, n — 1 gt N [/math]

В силу предыдущего неравенства, [math]forall x in E : left|sumlimits_^m f_k(x)
ight| leq 2varepsilon[/math] , то есть, выполняется условие критерия Коши.

[math]Longleftarrow[/math] Пусть выполняется условие критерия Коши.

[math]forall x in E[/math] для [math]sumlimits_^infty f_n(x)[/math] выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем [math]E[/math] определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.

По условию критерия Коши, [math]forall m geq n gt N forall x in E : left|sumlimits_^m f_k(x)
ight| leq varepsilon[/math]

Как и в первой половине доказательства, [math]|S_m(x) — S_(x)| leq varepsilon[/math] , но [math]S_p(x) o S(x)[/math] . В неравенстве с [math]varepsilon[/math] можно подставлять любой фиксированный [math]x[/math] . Устремим [math]m o infty[/math] : [math]forall n gt N forall x in E : |S_n(x) — S(x)| leq varepsilon[/math]

Значит, определение равномерной сходимости проверено.

[math] riangleleft[/math]
Читайте также:  Как зайти в аккаунт если забыл пароль

Признак Вейерштрасса [ править ]

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)

Можно рассматривать [math]sumlimits_^infty |f_n|[/math] и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):
Доказательство: [math] riangleright[/math]

Применим критерий Коши:

[math]left|sumlimits_^m f_k(x)
ight|[/math] [math]leq sumlimits_
^m |f_k(x)|[/math] [math]leq sumlimits_^m a_k[/math]

[math]sumlimits_^m a_k lt +infty Rightarrow forallvarepsilon gt 0 exists N forall m geq n gt N : sumlimits_^m a_k lt varepsilon[/math]

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно [math]forall x[/math] ,

[math]left|sumlimits_^m f_k(x)
ight| lt varepsilon[/math] . Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.

[math] riangleleft[/math]

Признак Абеля-Дирихле [ править ]

1)Частичные суммы [math] S_k(x)= sumlimits_^k a_n(x) [/math] ряда [math]sumlimits_^infty a_n(x) [/math] равномерно ограничены на [math]E[/math] ;

2)Последовательность функций [math]b_n(x)[/math] монотонна и равномерно сходится к нулю на [math]E[/math] .

Теорема (Абель-Дирихле):
Доказательство:
[math] riangleright[/math]

Монотонность последовательности [math]b_n(x)[/math] позволяет при каждом [math]x in E[/math] записать оценку:

[math] |sumlimits_^m a_k(x) b_k(x)| leq 4 max |A_k(x)| * max( |b_n(x)|, |b_m(x)| )[/math]

где [math] n — 1 leq k leq m [/math] и в качестве [math] A_k(x)[/math] возьмем [math] S_k(x) — S_(x) [/math] .

Приводимые ниже признаки являются аналогами признаков Абеля и Дирихле для случая числовых рядов.

Напомним сначала следующее утверждение.

Т ЕОРЕМА 5. Предположим, что n , < a k >n k = 1 — монотонная число-

вая последовательность, < b k >n k = 1 — произвольная числовая последовательность. Тогда имеет место оценка

≤ (| a 1 | + 2 | a n |) max ∑ b i .

Указанное в теореме неравенство называется неравенством Абеля.

Т ЕОРЕМА 6 ( ПРИЗНАК Д ИРИХЛЕ ). Предположим, что для функцио-

нального ряда ∑ a n ( x ) b n ( x ) , x I выполняются следующие условия:

1) для каждого x I числовая последовательность < a n ( x )>n +∞ = 1 явля-

2) a n ( x ) 0 на промежутке I ;

3) существует такая константа M , что для всех n ≥ 1 , x I имеет

Тогда ряд ∑ a n ( x ) b n ( x )

равномерно сходится на промежутке I .

Для произвольных натуральных n , p и любого

x I из условия 3) теоремы получаем:

∑ b k ( x ) − ∑ b k ( x )

Воспользуемся условием 2) формулировки теоремы. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , что при n ≥ N для всех x I выполняется неравенство | a n ( x ) | ε . Применяя для произвольного фиксированного x I

неравенство Абеля к числовым последовательностям

< a k ( x )>n k + = n p + 1 и < b k ( x )>n k + = n p + 1 ,

a k ( x ) b k ( x ) ≤ (| a n + 1 ( x ) | + 2 | a n + p ( x ) |)

max ∑ a k ( x ) b k ( x ) ≤ 6 ε M .

1 ≤ q ≤ p k = n + 1

В силу произвольности ε , из критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда выводим равномерную сходимость ряда

З АМЕЧАНИЕ . Условие 2) формулировки теоремы может быть пере-

формулировано так: частичные суммы ряда ∑ b n ( x ) равномерно ограни-

чены на промежутке I .

С ЛЕДСТВИЕ ПРИЗНАКА Д ИРИХЛЕ . Предположим, что последовательность функций < a n >+∞ n = 1 , определенных на промежутке I , удовлетворяет следующим условиям:

1) для любого x I числовая последовательность < a n ( x )>n +∞ = 1 являет-

2) a n ( x ) 0 на промежутке I .

Тогда функциональный ряд ∑ ( − 1) n − 1 a n ( x ) равномерно сходится на про-

Это утверждение вытекает из признака Дирихле, если положить

b n ( x ) = ( − 1) n − 1 , n , x I .

Отметим, что приведенное следствие является аналогом (для случая функциональных рядов) признака Лейбница сходимости числового ряда.

П РИМЕР . Доказать равномерную сходимость ряда ∑

промежутке 0 ≤ x ≤ 1 при любом α > 0 .

Р ЕШЕНИЕ . Полагаем

b ( x ) = ( − 1) n − 1 x n ,

При любом фиксированном x [0,1] последовательность < a n ( x )>n +∞ = 1 является убывающей. Из оценки

вытекает, что a n ( x ) 0 на промежутке [0,1] .

Частичные суммы ряда ∑ b n ( x ) имеют вид

S n ( x ) = ∑ b k ( x ) = ∑ ( − 1) k − 1 x k =

Оценивая модуль числителя последней дроби сверху, а знаменатель снизу, получаем:

| x − ( − 1) n x | ≤ | x | + | ( − 1) n x | ≤ 2, 1 + x ≥ 1.

Отсюда следует, что для любого x [0,1] имеет место неравенство | S n ( x ) | ≤ 2. Все условия признака Дирихле выполнены, следовательно, рассматриваемый ряд сходится на промежутке [0,1] равномерно.

Отметим в заключение, что при α > 1 равномерная сходимость рассматриваемого ряда может быть выведена из признака Вейерштрасса. Действительно, для любого x [0,1] выполняется оценка

Пусть выполнены условия:

  • Последовательность частичных сумм ограничена, то есть 0:|B_n|leqslant Mquadforall ninN" border="0" />.
  • .
  • .

Тогда ряд сходится.

  • Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  • Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
Читайте также:  Активация продуктов microsoft по телефону

0,;c_leqslant c_nquadforall ninN,quadlim_c_n=0;" border="0" />сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

  • Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: .

См. также

Литература

А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.

Признаки сходимости рядов
Для знакоположительных
рядов
Необходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак
Для знакочередующихся
рядов
Признак Лейбница
Для рядов вида Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле
Для функциональных рядов Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича

Для улучшения этой статьи желательно ? :

  • Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
  • Викифицировать список литературы, используя шаблон <<книга>> , и проставить ISBN.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Признак Дирихле" в других словарях:

Признак Жордана — признак сходимости рядов Фурье: если периодическая функция имеет ограниченную вариацию на отрезке , то её ряд Фурье сходится в каждой точке к числу ; если при этом функция непрерывна на отрезке … Википедия

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Пьером Жамэ. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия

Читайте также:  Как из microsim сделать nano sim

Признак Дини — Признак Дини признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из сходится к ней в смысле нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых… … Википедия

Признак Лобачевского — признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836. Пусть есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядом … Википедия

Признак Раабе — (признак Раабе Дюамеля) признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe) и независимо Жан Мари Дюамелем. Содержание 1 Формулировка 2 Формул … Википедия

Признак Бертрана — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Жозефом Бертраном. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия

Признак Гаусса — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1812 году Карлом Гауссом, при исследовании сходимости гипергеометрического ряда. Формулировка Пусть дан ряд и ограниченная числовая последовательность . Тогда если… … Википедия

Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей чувствительностью . Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория… … Википедия

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия

Признак сравнения — Признак сравнения утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector