Проекция прямой на плоскость не перпендикулярную

Проекция прямой на плоскость не перпендикулярную

Проекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость
Угол между прямой и плоскостью
Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема

Проекция прямой на плоскость

Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.

Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.

Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».

Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».

Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.

Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).

Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.

Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a .

Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.

Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a .

Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.

Угол между прямой и плоскостью

Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.

Фигура Рисунок Свойство проекции
Наклонная к плоскости α
Прямая, параллельная плоскости
Прямая, лежащая на плоскости
Прямая, перпендикулярная к плоскости

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O. )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a’ на плоскость α перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.

На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P’ – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b’, параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b’, совпадет с прямой b.

Поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’. Прямая a перпендикулярна к прямой b’ по условию. Таким образом, прямая b’ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’, откуда вытекает, что прямая b’ перпендикулярна и к прямой a’, лежащей на плоскости POP’.

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a’ наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.

Прямая a’ перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’, поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b’, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P’O и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’. Тогда, в частности, прямая b’ перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP’.

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №10. Перпендикуляр и наклонные

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

  • Определение перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость;
  • Доказательство теоремы о трех перпендикулярах;
  • Определение угла между прямой и плоскостью.

Глоссарий по теме

Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Лекция по теме «Угол между прямой и плоскостью»

Текст: «Угол между прямой и плоскостью».

— Что называют углом между прямой и плоскостью?

— Как изображают наклонную и плоскость на рисунке?

— Каковы приемы решения стереометрических задач?

— Как это поможет успешно сдать ЕГЭ?

Ранее мы уже определили понятия перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости; основания перпендикуляра; наклонной и ее проекции. Построим рисунок на плоскости, выделим знакомые элементы. Изобразим плоскость α в виде замкнутой кривой линии. Такой рисунок плоскости, как и любой другой, вполне допустим, так как плоскость не имеет границ.

Проведем наклонную a . На рисунке она изображена в виде прямой, пересекающей плоскость в точке А. Условно закрытая плоскостью часть наклонной изображена пунктирной линией. Из любой точки М наклонной проведем перпендикуляр к плоскости α. Основание перпендикуляра обозначим точкой В. Назовем точку В проекцией точки М на плоскость . Определим вновь введенное понятие: «Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости».

Соединим точку А (точку пересечения прямой и плоскости) и точку В (проекцию точки М на плоскость), Отрезок АВ является проекцией наклонной АМ на плоскость А, это мы определили ранее.

Небольшая иллюстрация проекции прямой на плоскость при помощи луча дает понимание того, что проекцией прямой на плоскость является прямая. Но утверждать это можно только с помощью доказательства.

Теорема: Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Используем имеющийся рисунок.

Проведем через точки М, А и В плоскость β. Получим прямую а 1 пересечения плоскостей . Докажем, что эта прямая является проекцией прямой а на плоскость α.

Возьмем произвольную точку М 1 на прямой а. Проведем прямую М 1 Р параллельно МВ.

Получим некоторую точку Н пересечения прямой а 1 и прямой М 1 Р и точку Н 1 пересечения прямой М 1 Р и плоскости α (проекции точки М 1 на плоскость α).

Докажем, что точки Н и Н 1 совпадают.

Действительно, отрезок М 1 Н перпендикулярен прямой а 1 (это следует из того, что он параллелен МВ, а отрезок МВ перпендикулярен прямой а 1 )

Отрезок М 1 Н 1 перпендикулярен прямой а 1 (это следует из того, что отрезок М 1 Н 1 перпендикулярен плоскости α, следовательно перпендикулярен любой прямой в плоскости в том числе прямой а 1 . Из одной точки можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой, отсюда следует, что точки Н и Н 1 совпадают, а проекция точки М 1 лежит на прямой а 1 .

Представим прямую а как множество точек. Проекции этих точек принадлежат прямой а 1 . Из этого следует, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой является прямая.

Используя известные математические термины, составим определение :

Углом между прямой и плоскостью , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Если прямая пересекает плоскость перпендикулярно, ее проекцией будет точка пересечения этой прямой и плоскости. В таком случае величина угла между прямой и плоскостью считается равной 90 0 .

АВ – проекция наклонной

ВМ – перпендикуляр из М на ,

В – основание перпендикуляра,

В проекция М на .

Определение: «Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости».

Теорема: Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Добавить к рисунку плоскость β

Добавить прямую a 1 пересечения плоскостей.

Провести в плоскости β прямую М 1 Р параллельно МВ

Провели : М, А и В .

Получаем а 1 проекция а.

Углом между прямой и плоскостью , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

АМВ–угол между а и

Если прямая пересекает плоскость перпендикулярно, ее проекцией будет точка пересечения этой прямой и плоскости. В таком случае величина угла между прямой и плоскостью считается равной 90 .

Некоторые полезные выводы:

— Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к плоскости, является прямая;

— Проекцией отрезка на плоскость, не перпендикулярного к плоскости, является отрезок, концами которого являются проекции концов отрезка;

— Проекцией прямой и отрезка на плоскость, перпендикулярных к плоскости является точка;

— Угол между наклонной и плоскостью (между наклонной и ее проекцией) является наименьшим из всех углов, образованных этой наклонной с любой прямой принадлежащей плоскости;

— Угол между перпендикуляром к плоскости и самой плоскостью Равен 90 0 .

-Если данная прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В таком случае угол между параллельными прямой и плоскостью считают равным 0.

Чтобы построить проекцию какой-нибудь фигуры F на плоскость, надо построить проекции всех ее точек на данную плоскость.

— Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к плоскости, является прямая;

— Проекцией отрезка на плоскость, не перпендикулярного к плоскости, является отрезок, концами которого являются проекции концов отрезка;

— Проекцией прямой и отрезка на плоскость, перпендикулярных к плоскости является точка;

— Угол между наклонной и плоскостью (между наклонной и ее проекцией) является наименьшим из всех углов, образованных этой наклонной с любой прямой принадлежащей плоскости;

— Угол между перпендикуляром к плоскости и самой плоскостью Равен 90 0 .

— Чтобы построить проекцию какой-нибудь фигуры F на плоскость, надо построить проекции всех ее точек на данную плоскость

Задача 1: Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Сторона АВ равна 1дм. Найдите величину угла между диагональю куба B 1 D и плоскостью ABC .

Отрезок B 1 B – перпендикулярен плоскости ABC . Соединим основание перпендикуляра точку В и точку пересечения прямой B 1 D с плоскостью АВС, получим отрезок BD , проекцию наклонной B 1 D .

Найти угол BDB 1.

Треугольник BB 1 D прямоугольный.

Найдем тангенс угла BDB 1 . Он равен отношению B 1 B к BD . Все ребра куба равны, значит B 1 B =1, а BD 2 =В 1 В 2 + BD 2 = 1 2 +1 2 (по теореме Пифагора) BD = .

tgBDB 1 = . получили табличное значение тангенса угла, тогда, угол BDB 1 равен 45 0 .

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Сторона АВ равна 1дм. Найдите величину угла между диагональю куба B 1 D и плоскостью ABC .

Найти: угол между B 1 D и ABC .

Δ BB 1 D –прямоугольный, по определению куба.

B 1 B =1, по т. Пифагора: BD 2 =1 2 +1 2

BD = .

tgBDB 1 = . Следует, BDB 1 =45 0 .

Ответ: угол между B 1 D и ABC равен 45º.

В ЕГЭ эта тема представлена задачами подобного содержания: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37. Найдите длину отрезка BD.

Решение: Отрезок OD – проекция наклонной SD на плоскость АВС равна половине отрезка В D . Треугольник SOD прямоугольный. Применим теорему Пифагора: OD 2 +35 2 =37 2 ;

OD 2 =1369-1225=144;

Текст: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37. Найдите длину отрезка BD.

Дано: SABCD правильная пирамида,

О– центр основания,

Отрезок OD – проекция наклонной SD на плоскость АВС равна половине отрезка В D .

Δ SOD –прямоугольный. по т. Пифагора: OD 2 +35 2 =37 2 ;

Фигура Рисунок Определение
Наклонная к плоскости α
Прямая, параллельная плоскости
Прямая, лежащая на плоскости
Прямая, перпендикулярная к плоскости
Ссылка на основную публикацию
Adblock detector