Производная от тангенса икс

Производная от тангенса икс

Производная тангенса равна единице деленной на квадрат косинуса того же самого аргумента:

Данную формулу легко вывести, если знать, что по тригонометрической формуле: $$ tg x = frac<sin x> <cos x>$$

А производные синуса и косинуса:

$$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (cos x)’ = -sin x $$

Тогда по правилу производной дроби находим:

Выполняем упрощение числителя с учетом тождества $ sin^2 x + cos^2 x = 1 $:

Определение

Производная тангенса равна отношению единицы и квадрата косинуса одно и того же аргумента. Так как функция сложная, то еще нужно домножить на производную аргумента тангенса:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Найти производную тангенса сложной функции: $ y = tg 2x $
Решение
Ответ
$$ y’ = frac<2> <cos 2x>$$

Тангенс представлен степенной функцией, поэтому берем производную по правилу $ (x^p)’ = px^ $, а затем умножаем на производную тангенса:

$$ y’ = (tg^2 x)’ = 2tg x cdot (tg x)’ = $$

Производная по переменной x от тангенса x равна единице, деленной на косинус в квадрате от x:
( tg x )′ = .

Вывод формулы производной тангенса

Применяем эти формулы и правила к производной тангенса.

.

Формула производной тангенса доказана.

Производные синуса и косинуса определены для всех значений переменной x . Формула производной дроби (4) справедлива для тех значений переменной x , в которых существуют производные функций и и для которых знаменатель дроби не обращается в нуль:
.
Таким образом, производная тангенса справедлива для всех x , кроме точек, в которых . То есть кроме точек
,
где – целое число.
С другой стороны, сама функция y = tg x определена для всех x , кроме точек
.
Поэтому производная тангенса определена на всей области определения тангенса.

Пример

Найти производные от tg 2 x , tg 3 x и tg nx .

Найдем производную от функции tg nx .
Представим эту функцию как сложную, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Заменим :
.

Подставляя вместо n значения и , получаем производные функций tg 2 x и tg 3 x :
;
.

Производные высших порядков

К сожалению, простой формулы, для производной n-го порядка от функции y = tg x , нет. Однако, если требуется найти производные высшего порядка, то процесс дифференцирования можно упростить и свести его к дифференцированию многочлена.

Для этого заметим, что производную от тангенса можно выразить через сам тангенс (через саму функцию):
.
Тем самым мы нашли дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет тангенс:
(6) .

Найдем производную второго порядка, дифференцируя уравнение (6) и применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Подставим (6):
(7) .

Найдем производную третьего порядка. Для этого дифференцируем уравнение (7) и применяем правило дифференцирования сложной функции. Также используем выражение (6) для первой производной:
.

Аналогичным способом находим производные четвертого и пятого порядков:

;

.

В общем виде, производную n-го порядка, по переменной x от функции тангенс, , можно представить в виде многочлена по степеням тангенса:
.
Коэффициенты связаны рекуррентным соотношением:
,
где
; ;
.

Общая формула

Процесс дифференцирования можно представить одной формулой. Для этого заметим, что
.
Тогда n-я производная тангенса имеет следующий вид:
,
где .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-03-2017

Вычисляет производную заданной функции.

Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.

Калькулятор производных

Производная функции

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

Пример 2
Чему равна производная от тангенса в квадрате? $ y = tg^2 x $
Решение
Ссылка на основную публикацию
Adblock detector