Радиус третьей боровской орбиты

Радиус третьей боровской орбиты

Атом Бора. Рентгеновские лучи

Найти радиусы rк трех первых боровских электронных орбит в атоме водорода и скорости vк электрона на них.

Дано:

Решение:

При движении электрона по орбите сила Кулона является центростремительной. Тогда

Бо́ровский ра́диус — радиус ближайшей к ядру орбиты электрона атома водорода в модели атома, предложенной Нильсом Бором в 1913 г. и явившейся предвестницей квантовой механики. В модели электроны движутся по круговым орбитам вокруг ядра, при этом орбиты электронов могут располагаться только на определённых расстояниях от ядра r <displaystyle r> , которые определяются целочисленными отношениями момента импульса L = m e v r <displaystyle L=m_vr> к постоянной Планка ℏ <displaystyle hbar > (см. Боровская модель атома).

Боровский радиус имеет значение 5,2917720859(36)⋅10 −11 м [1] (цифры в скобках указывают погрешность в последних значащих цифрах на уровне 1σ), то есть приблизительно 53 пм или 0,53 ангстрема. Это значение может быть вычислено через фундаментальные физические постоянные следующим образом:

a 0 = 4 π ε 0 ℏ 2 m e e 2 = ℏ m e c α = h 2 π m e α c , <displaystyle a_<0>=<4pi varepsilon _<0><hbar ^<2>> over e^<2>>>=<hbar over calpha >>=<frac <2pi m_alpha c>>,>

h <displaystyle h> — постоянная Планка, ℏ <displaystyle hbar > — постоянная Дирака (приведённая постоянная Планка), ℏ = h / 2 π <displaystyle hbar =h/<2pi >> , ε 0 <displaystyle varepsilon _<0>> — электрическая постоянная, m e <displaystyle m_;> — масса электрона, e <displaystyle e> — элементарный заряд, c <displaystyle c> — скорость света в вакууме, α <displaystyle alpha ;> — постоянная тонкой структуры.

Боровский радиус часто используется в атомной физике в качестве атомной единицы длины, см. Атомная система единиц. Определение боровского радиуса включает не приведённую, а обыкновенную массу электрона и, таким образом, радиус Бора не точно равен радиусу орбиты электрона в атоме водорода. Это сделано для удобства: боровский радиус в таком виде возникает в уравнениях, описывающих и другие атомы, где выражение для приведённой массы отлично от атома водорода. Если бы определение боровского радиуса включало приведённую массу водорода, то в уравнения, описывающие другие атомы, необходимо было бы включить более сложное выражение.

Читайте также:  История телевидения в россии кратко

Согласно теории Максвелла, вращающийся электрон постоянно излучает энергию и, в конце концов, должен упасть на ядро, чего не происходит в действительности. Боровские орбиты являются по предположению стационарными, и не приводят к излучению энергии. Этот факт был впоследствии обоснован в квантовой механике.

Пример 1.Вычислить для атома водорода радиус первой боровской орбиты и скорости электрона на ней.

Решение. Радиус n–й боровской орбиты rn и скорость un электрона на ней связаны между собой уравнением первого постулата Бора:

Чтобы иметь еще одно уравнение, связывающие величины un и rn, запишем второй закон Ньютона для электрона, движущегося под действием кулоновской силы притяжения ядра по круговой орбите. Учитывая, что ядром атома водорода является протон, заряд которого равен по модулю заряду электрона, запишем:

, (3.2)

где m – масса электрона, – нормальное ускорение. Решив совместно (3.1) и (3.2) получим:

, .

Положив здесь n = 1, произведем вычисления:

; .

Пример 2.Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона и его длину волны.

Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

, (3.3)

где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n1 – номер орбиты, на которую перешел электрон; n2 – номер орбиты, с которой перешел электрон (n1 и n2 – главные квантовые числа).

Энергия фотона Е выражается формулой

. (3.4)

Поэтому, умножив обе части равенства (13.3) на hc, получим выражение для энергии фотона:

.

Т.к. Rhc есть энергия ионизации Ei атома водорода, то

.

Из равенства (3.4) выразим длину волны фотона

Вычисления выполним во внесистемных единицах: Ei = 13,6 эВ; Z = 1; n1 = 2; n2 = 4:

Читайте также:  Мигание при звонке хуавей

эВ = 2,55 эВ.

м.

Пример 3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

, (3.5)

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

, (3.6)

где m – масса покоя частицы.

В релятивистском случае

, (3.7)

Формула (3.5) с учетом соотношений (3.6) и (3.7) запишется:

— в нерелятивистском случае

, (3.8)

— в релятивистском случае

. (3.9)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедше­го заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (3.8) или (3.9) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

В первом случае T1 = еU1 = 51 эВ= 0,51 10 -4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е = mс 2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (3.8). Для упрощения расчетов заметим, что T1 = 10 -4 mc 2 . Подставив это выражение в формулу (3.8), перепишем ее в виде

.

Учитывая, что есть комптоновская длина волны λ, получаем

.

= 171 пм.

Во втором случае кинетическая энергия T2 = eU2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (3.9). Учитывая, что Т2 = 0,51МэВ = mс 2 , по формуле (3.9) находим

,

.

Подставим значение λи произведем вычисления:

= 1,40 пм.

Пример 4. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Т = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить мини­мальные линейные размеры атома.

Читайте также:  Усилитель ростелеком интернет сигнала

Решение.Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

, (3.10)

где – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); х – неопределенность импульса частицы (электрона); – постоянная Планка.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

.

Соотношение неопределенностей (3.10) можно записать в этом случае в виде

,

. (3.11)

Физически разумная неопределенность импульса х во всяком случае не должна превышать значения самого импульса рх, т.е. х£ рх. Импульс рх связан с кинети­ческой энергией Т соотношением

. Заменим х значением (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим

. (3.12)

Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3.12) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

.

Найденная единица является единицей длины.

= 1,24 10 -10 м = 124 нм.

Пример 5. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l, рис.3.1. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале Dl = 0,01l в двух случаях:

2) в средней части ящика ( ).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8913 — | 7222 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector