Расчет смешанной цепи синусоидального тока

Расчет смешанной цепи синусоидального тока

Для электрической цепи рис. 35 известны: действующее значение приложенного напряжения В, частота питающей сетиf=50 Гц, резисторыR1=3 Ом, R2=2 Ом, индуктивностиL1=3,185мГн,L2=12,75мГн, емкостьС=254,8мкФ.

Определить токи, напряжения, мощности на всех участках и во всей цепи.

1. Определяем индуктивные и емкостное сопротивления цепи:

2. Запишем комплексы сопротивлений участков цепи:

Ом

Эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей:

Ом;

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

Ом.

Ток в неразветвленной части цепи определим по закону Ома. Для этого зададим направление приложенного напряжения и представим это напряжение в комплексной форме.

Пусть вектор приложенного напряжения совпадает с положительным направлением оси действительных чисел (рис. 36). Тогда

Падение напряжения на резисторе R1:

7. Падение напряжения на индуктивности L1:

8. Напряжение на параллельном участке определяются по второму закону Кирхгофа. Так как , то

Токи в параллельных ветвях находятся по закону Ома:

Векторная диаграмма токов и напряжений приведена на рис. 37.

Расчет мощностей:

а) мощность, вырабатываемая источником питания:

ВА;

Вт;Вар.

б) мощности, потребляемые нагрузкой:

— мощность сопротивления R1:

(нагрузка этого участка цепи носит активный характер);

— мощность участка цепи, содержащего активное сопротивление R2и индуктивностьL2:

мощность участка цепи, содержащего емкость С:

(нагрузка участка цепи емкостная);

— мощность участка цепи, содержащего индуктивность L1:

(нагрузка участка цепи индуктивная);

в) уравнение баланса мощностей:

Погрешность в расчетах не превышает 5%, следовательно, задача решена верно.

11. Модель заданной электрической цепи (рис. 38).

Полученные при моделировании показания приборов немного отличаются от расчетных, так как измерительные приборы имеют внутренние сопротивления, которые моделирующая система учитывает.

Цепи периодического несинусоидального тока Основные характеристики несинусоидальных периодических токов и напряжений

Большинство периодических функций, с которыми имеют дело в электротехнике и электронике, удовлетворяют условиям Дирихле, поэтому их можно представить в виде ряда Фурье:

1 циклическая частота гармоник основной частоты;

Действующее значение любой периодической функции – среднеквадратичное значение: , т.е.

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока (напряжения, ЭДС) равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющейи квадратов действующих значений всех гармонических составляющих

Действующее значение несинусоидальных периодических величин не зависит от начальных фаз гармоник, а зависит только от их действующих значений (амплитуд).

Среднее значение периодической несинусоидальной величины за период:

Оно равно постоянной составляющей, так как суммарная площадь, ограниченная кривой за период любой гармонической составляющей, равна нулю.

.

Сравнивать несинусоидальные периодические величины можно при помощи трех коэффициентов: формы амплитуды, искажения.

где — амплитудное, среднее, действующее значения величины;

Читайте также:  Мобильное телевидение мтс бесплатно

— действующее значение основной гармоники.

Для цепи, изображенной на рис. 1 требуется:

  1. Определить комплексным методом действующие значения напряжений и токов на всех участках цепи.
  2. Определить активные, реактивные и полные мощности каждого участка цепи и всей цепи.
  3. Составить баланс активных и реактивных мощностей и оценить погрешность расчета.
  4. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Частота питающего напряжения 50 Гц.


Рис. 1

Исходные данные:
U = 127 В , r1 = 15 Ом , C1 = 60 мкФ, r2 = 10 Ом , L2 = 80 мГн, r3 = 15 Ом , C3 = 90 мкФ.

Решение. Заказать у нас работу! Решить онлайн! (New. )

  1. Определим комплексные сопротивления каждой ветви.

(Ом)
(Ом)
(Ом)

2. Определим полное сопротивление цепи.

(Ом)

3. Приняв найдем токи и напряжения в ветвях.

(А)

(В)

(В)

(А)
(А)

4. Определим активные, реактивные и полные мощности участков цепи и всей цепи целиком.

Мощность первого участка:
(ВА)
Мощность второго участка:
(ВА)
Мощность третьего участка:
(ВА)
Полная мощность всей цепи:
(ВА)

Проверим баланс активных мощностей:
P = P1 + P2 + P3
P = 205,2 (BA)
P1 + P2 + P3 = 61,25 + 82,44 + 61,22 = 204,91 (Вт)
Абс. погр-ть Δ = P – (P1 + P2 + P3) = 205,2 – 204,91 = 0,29 (Bт)
Отн. погр-ть

Проверим баланс реактивных мощноcтей:
S = S1 + S2 + S3
S =- 153,96 (BA)
S1 + S2 + S3 = — 216,7 + 207,19 – 144,5 = — 154,01 (ВА)
Абс. погр-ть Δ = |S – (S1 + S2 + S3)| = |153,96 – 154,01| = 0,05 (BA)
Отн. погр-ть

5. Построим векторную диаграмму на комплексной плоскости.

Для этого определим напряжения на каждом элементе схемы.
(В)
(В)
(В)
(В)
(В)
(В)

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

Читайте также:  Разрешение экрана монитора как поменять

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

2) тригонометрическая форма в виде

3) алгебраическая форма

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

    • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
    • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
    • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
    • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
    • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.
    Читайте также:  Aliens colonial marines кооператив

    Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

    Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

    Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

    Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

    По закону Ома ток в цепи равен

    где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

    Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

    Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

    Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

    Находим комплексное сопротивление индуктивности

    Находим комплексное сопротивление емкости

    Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

    Комплексные напряжения на элементах

    Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

    С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

    Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
    1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
    2) действующие значения токов в ветвях;
    3) показания вольтметра и ваттметра;

        Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

      Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

      Решение:
      1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
      Учитываем, что

      Комплексное сопротивление первой ветви:

      Комплексное сопротивление второй ветви:

      Комплексное сопротивление третьей ветви:

      Общее сопротивление цепи

      — нагрузка носит активно-индуктивный характер

      2. Находим действующие значения токов в ветвях:

      Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

      Действующие значения, соответственно,

      3. Определим показания приборов:
      Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
      U=220 В
      Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

      Ссылка на основную публикацию
      Adblock detector