Разложение вектора по ортогональному базису

Разложение вектора по ортогональному базису

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

  • Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
  • выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
  • введите значения базисных векторов;
  • введите значения вектора который нужно разложить по базису;
  • Нажмите кнопку "Разложить вектор по базису" и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "влево" и "вправо" на клавиатуре.

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1 , . an , необходимо найти коэффициенты x 1, . xn , при которых линейная комбинация векторов a1 , . an равна вектору b .

Коэффициенты x 1, . xn будут координатами вектора b в базисе a1 , . an .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

Читайте также:  System priv app как найти

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму: ,в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

,где и .

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Формулировка:Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны (коллинеарны).

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Читайте также:  Почему на ноутбуке быстро разряжается батарея

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

можно найти так:

.

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

ВОПРОС 27 Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.

пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому каждому элементу x e X ставится в соответствие единственный элемент y e Y , называется оператором, действующим в линейных пространствах X , Y. Результат действия оператора A на элемент x обозначают y = A x или y = A(x). Если элементы x и y связаны соотношением y = A x, то y называют образом элемента x; элемент x прообразом элемента y.

Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора и обозначают D(A).

Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения оператора A, называют образом оператора и обозначают Im(A). Если y = A x , то x e D(A), y e Im(A) .

Оператор A, действующий в линейных пространствах X , Y называется линейным оператором, если

A(u+v)=A(u)+A(v) и A(au)=aA(u) и для любых u,v e X и для любого числа a.

Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве X.

Последнее изменение этой страницы: 2016-06-28; Нарушение авторского права страницы

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector