Ребро пирамиды перпендикулярно плоскости основания

Ребро пирамиды перпендикулярно плоскости основания

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC и SA, пополам.

б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если AB = AC = 5,

а) Пусть AH — искомая высота. Проведем SK, H SK. Проведем AK. Поскольку T и N — середины AC и AB соответственно, то TN — средняя линия треугольника ABC. Тогда TN делит AK на две равные части. Поэтому MF — средняя линия треугольника SKA, она делит AH на две равные части.

б) Поскольку AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Имеем SC = SB, следовательно, треугольник SCB тоже равнобедренный. Зная, что SA ⊥ (ABC), имеем SAAB. Тогда треугольники SAC и SAB равны по двум сторонам и углу между ними.

Так как AC = AB, AH ⊥ (CBS), следовательно, HCAH, AHHB, тогда HC = HB. Значит, точка H принадлежит серединному перпендикуляру к CB, то есть SK, так как SK — медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника. Тогда , AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK =

Поскольку SA ⊥ (ABC), SAAK. Тогда по теореме Пифагора SK = 5. Имеем то есть SH = 1. Тогда HK = 4, следовательно, AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

б) Искомое расстояние — длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ.

Т.к. АМ=МS; АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ.

∆ КАЕ — равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС.

Читайте также:  Примерить челку на фото

АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5

∆ КМЕ — равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО.

В прямоугольном ∆ МАО отрезок АН — высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников).

Из подобия следует отношение:

АН:АМ=АО:МО

АН:[(√5):2]=√5: 5/2 ⇒ АН=1

а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).

МО — средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам.

УСЛОВИЕ:

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС.

а) Докажите, что высота пирамиды проведённая из точки А, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, АС и SA, пополам.

б) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = sqrt(5) , АВ = АС = 5, ВС = 2sqrt(5).

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

а)Пусть М- середина ребра SA, К-середина ребра АС, Т-середина ребра АВ.
Тогда МК- средняя линия треугольника SAC, MT- средняя линия треугольника SAB, КТ- средняя линия треугольника ABС.
Так как треугольник SCB- равнобедренный (АС=АВ, равные проекции имеют равные наклонные), то высота пирамиды, проведенная из точки А проектируется на высоту равнобедренного треугольника SBC.
Пусть SD- высота треугольника SBC, AD- высота треугольника АВС.
Треугольники SAF и MAР подобны с коэффициентом подобия 2, значит плоскость МКТ делит высоту AF пополам.
б) Из прямоугольного треугольника SAD:
SA•AD/2=AF•SD/2
По теореме Пифагора
АD^2=AC^2-CD^2=5^2-(√5)^2=25-5=20
AD=2√5
По теореме Пифагора
SD^2=SA^2+AD^2=(√5)^2+(2√5)^2=5+20=25.

√5•(2√5)/2=AF•5/2
AF=2
АР=AF/2=1
О т в е т. AP=1

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector