Решение неравенств со степенями примеры с решением

Решение неравенств со степенями примеры с решением

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Показательная функция – это функция вида

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании, большем единицы и меньшем единицы, но большем нуля соответственно.

Свойства показательной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при При

2. Решение типовых неравенств

Методика решения подобных неравенств:

Уравнять основания степеней;

Сравнить показатели, сохранив или изменив знак неравенства.

Преобразуем неравенство, пользуясь свойствами степени:

Введем замену. Пусть

Переносим все в левую сторону:

Получим квадратное уравнение и найдем его корни:

Решим методом интервалов.

Рис. 2. Метод интервалов

Вернемся к исходным обозначениям:

Ответ:

Пользуясь свойствами степени, получаем:

Введем замену. Пусть

Для квадратного уравнения

Рис. 3. Метод интервалов

Вернемся к исходным обозначениям:

Ответ:

Рассмотрим новый вид неравенств.

3. Методика решения однородных показательных неравенств второй степени

Мы рассматривали случай, когда левая часть заданного выражения равна нулю, и изучили методику решения таких уравнений. Теперь нас интересуют неравенства. Укажем некоторое ограничение: .

Метод решения такого вида неравенств базируется на свойствах выражения, стоящего в левой его части. Данное выражение можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Метод решения таков: нужно рассмотреть два случая:

Перенесем все члены в левую сторону:

В данном случае несложно выделить функции f и g.

Согласно свойствам степени имеем:

Поскольку показательная функция при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, имеем право сразу выполнить деление:

Имеем квадратное неравенство:

Ветви параболы направлены вверх, корни уравнения , решение неравенства находится в интервале между корней. Имеем систему:

Читайте также:  Пульт для телевизора на андроид без wifi

Покажем решение на рисунке 7.4:

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3

Итак, получили интервал значений у: . Вернемся к исходным переменным:

(т. к. показательная функция при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения)

(знак неравенства изменили, т. к. основание степени меньше единицы)

Ответ:

4. Решение типовых неравенств

Преобразуем согласно свойствам степени:

В данном случае несложно выделить функции f и g.

Аналогично предыдущему примеру, выполним деление:

Имеем квадратное неравенство:

Ветви параболы направлены вверх, корни уравнения , решение неравенства находится в интервале вне корней. Имеем систему:

Покажем решение на рисунке 7.5:

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 4

Итак, получили интервал значений у: . Вернемся к исходным переменным:

(знак неравенства изменили, т. к. основание степени меньше единицы)

Ответ:

Перенесем все в левую часть:

Преобразуем согласно свойствам степени:

Вынесем за скобки :

Упростим выражение в скобках – приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

Имеем право домножить все неравенство на 6, т. к. это положительное число:

Кроме того, имеем право сократить неравенство на

Очевидно, что при Ответ:

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств более сложного уровня. Далее мы подведем итоги изучения показательной функции.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 474, 475;

2. Решить неравенство:

3. Решить неравенство:

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

(lacktriangleright) Стандартное показательное неравенство: [geqslant a^>>] где (a>0, a
e 1)
(на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant, >, )

(lacktriangleright) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция (h(x)) , то при выполненном ОДЗ [ extbf> (h(x))^ Leftrightarrow left[egin egin &egin h(x)>1\ f(x)> g(x) end\ &egin

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения (h(x)=1) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в (1) , а (1geqslant 1) – верное неравенство.

(lacktriangleright) С помощью формулы (>>) можно любое число (b>0) представить в виде степени необходимого нам числа (a>0, a
e 1) .

Читайте также:  Как открыть эксель на двух мониторах

Решите неравенство [17^geqslant 1]

ОДЗ: (x) – произвольный.

Преобразуем неравенство: [17^geqslant 17^0] Т.к. основание степени больше единицы ( (17>1) ), то неравенство равносильно [x^2-1geqslant 0 quad Leftrightarrow quad (x-1)(x+1)geqslant 0] Решая данное неравенство методом интервалов:

Решите неравенство [4^

ОДЗ: (x) – произвольный.

Преобразуем данное неравенство: [(2^2)^ <2x^2-23>Т.к. основание степени больше единицы ( (2>1) ), то неравенство равносильно [4x^2-46 Решая данное неравенство методом интервалов:

получим (xinleft(-frac72; frac72
ight)) .

ОДЗ: (x) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству [2^xgeqslant 2^0qquadLeftrightarrowqquad xgeqslant 0,.]

ОДЗ: (t) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

[egin 4cdot 2^ <2t>— 8cdot 2^ + 4geqslant 0 end]

Сделаем замену (y = 2^t) , (y > 0) . Полученное неравенство примет вид:

[egin 4cdot y^2 — 8cdot y + 4geqslant 0 qquadLeftrightarrowqquad y^2 — 2y + 1geqslant 0 qquadLeftrightarrowqquad (y — 1)^2geqslant 0,, end]

что выполнено при любом (y) . Таким образом, исходное неравенство справедливо при любом (t) .

Решите неравенство [25^

ОДЗ: (x) – произвольный.

Преобразуем данное неравенство: [(5^2)^ <2x-4>Т.к. основание степени больше единицы ( (5>1) ), то неравенство равносильно [4x-8

Исходное неравенство равносильно неравенству

[egin 2^xgeqslant (<2^<2>>)^xcdot 2^<-1>qquadLeftrightarrowqquad 2^xgeqslant 2^<2x - 1>qquadLeftrightarrowqquad xgeqslant 2x — 1qquadLeftrightarrowqquad xleqslant 1, end]

таким образом, ответ [xin(-infty; 1].]

Решить неравенство [cdot 5^

(Задача от подписчиков)

По формуле (a^xcdot b^x=(ab)^x) левую часть можно записать как ((2cdot 5)^=10^) .
С помощью формулы ((a^x)^y=a^) правую часть можно записать как (10^<-3>cdot 10^<6-2x>) , затем с помощью (a^xcdot b^x=(ab)^x) как (10^<-3+6-2x>) . Тогда неравенство примет вид: [ Данное неравенство равносильно [x^2

Показательные неравенства в ЕГЭ по математике профильного уровня неизменно встречаются из года в год. Безусловно, баллы, которые можно набрать или, наоборот, не получить за данное задание, никак не влияют на итоговую оценку по предмету. Но нельзя забывать, что от них во многом зависит ваш шанс поступить в желаемый вуз.

Научиться решать показательные неравенства важно не только с целью успешной сдачи аттестационного испытания и получения конкурентоспособных баллов по ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшем учебном заведении Москвы или другого города. Кроме того, выполнение данных заданий позволяет развить навыки систематизации и логическое мышление, помогает повысить творческие и умственные способности школьника.

Показательные уравнения и неравенства, которые предстоит решить школьникам из Москвы и других городов в ЕГЭ по математике (профиль), входят в курс 10 класса. На уроках на изучение этой темы отводится мало времени. Для того чтобы верно выполнить решение показательных неравенств в ЕГЭ, рекомендуем воспользоваться при подготовке нашим ресурсом. Мы разработали для вас уникальный инструмент, с помощью которого вы сможете грамотно выстроить подготовку к сдаче экзамена, восполнить пробелы в знаниях и отработать навыки решения задач.

Читайте также:  Аккумулятор для apc back ups es 550

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

V , где V — один из знаков: ,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция возрастает при всех действительных значениях , если 1″ title=»a>1″/>. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

a^" title="a^>a^"/> следует неравенство " title=">"/>

Аналогично, так как показательная функция убывает, если

a^" title="a^>a^"/> следует неравенство

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно :

если основание степени больше единицы , то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы , то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1 . Решим неравенство:

Так как основание степеней , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

<6/>" title=">><6/>"/>

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

0" title=">-<6/>>0"/>

0" title="/<(x-1)(x-2)>>0"/>

0" title="/<(x-1)(x-2)>>0"/>

,

0" title="<(x-3)(x-4)>/<(x-1)(x-2)>>0"/>

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: , , 4" title="x>4"/>

2 . Решим неравенство:

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: , 0" title="t>0"/>

Получим систему неравенств:

0> >>< >" title="delim<2><1><<2>-6t+5 0> >>< >"/>

0> >>< >" title="delim<2><1> <<1 0>>>< >"/>

То есть

Запишем двойное неравенство в виде системы:

1>

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

1> <5^1> <5^

Отсюда: 0" title="x>0"/>,

Ответ:

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector