Скорость спутника формула через радиус

Скорость спутника формула через радиус

При движении спутников (с выключенным двигателем) по круговой орбите на них действует только одна сила — сила притяжения спутника к планете.

На спутник, имеющий массу m и движущийся по круговой орбите на высоте h над поверхностью планеты (рис. 2.2), действует только сила тяжести.

Эта сила направлена к центру планеты и сообщает спутнику центростремительное ускорение. В этом случае справедливо соотношение

G m M r 2 = m v 2 r ,

позволяющее получить формулу для расчета первой космической скорости спутника:

где G = 6,67 ⋅ 10 −11 Н ⋅ м 2 /кг 2 — универсальная гравитационная постоянная; m — масса тела; r = R + h — радиус орбиты; R — радиус планеты; h — высота спутника над поверхностью планеты.

Различают первую, вторую и третью космические скорости. Для планеты Земля:

  • первая космическая скорость — минимальная скорость, сообщенная спутнику вблизи поверхности Земли, при которой он может выйти на круговую орбиту и начать вращение вокруг Земли на околоземной орбите ( h ≈ 0),
  • вторая космическая скорость — минимальная скорость, сообщенная спутнику вблизи поверхности Земли, при которой он может удалиться от Земли на большое расстояние и стать спутником Солнца,
  • третья космическая скорость — минимальная скорость, сообщенная спутнику вблизи поверхности Земли, при которой он может покинуть Солнечную систему; ее значение приблизительно равно 16,6 км/с.

Когда говорят о первой космической скорости для планеты , то подразумевают, что спутник движется на высоте h ≈ 0, т.е. радиус орбиты спутника r совпадает с радиусом планеты R :

Период обращения спутника вокруг планеты (время одного оборота) можно определить как отношение длины орбиты к первой космической скорости:

где L = 2π r — длина орбиты радиусом r (длина окружности); v — первая космическая скорость спутника на этой орбите.

Пример 5. Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте, равной удвоенному радиусу Земли, превышает период обращения спутника, вращающегося на околоземной орбите?

Решение. Период обращения спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте h 1 = 2 R , определяется формулой

T 1 = 2 π ( R + h 1 ) v 1 ,

где R — радиус Земли; v 1 — первая космическая скорость спутника на высоте h 1 .

Период обращения спутника, совершающего движение на околоземной орбите ( h 2 ≈ 0), определяется формулой

T 2 = 2 π ( R + h 2 ) v 2 ,

где v 2 — первая космическая скорость спутника на околоземной орбите.

Подстановка значений h 1 = 2 R и h 2 = 0 в формулы для вычисления соответствующих периодов дает:

T 1 = 6 π R v 1 и T 2 = 2 π R v 2 .

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1

выражается через отношение первых космических скоростей спутника на соответствующих орбитах.

Первые космические скорости определяются следующими формулами:

v 1 = G M R + h 1 = G M R + 2 R = G M 3 R ;

  • для высоты h 2 ≈ 0 (околоземная орбита)

v 2 = G M R + h 2 = G M R + 0 = G M R ,

где G = 6,67 ⋅ 10 −11 Н · м 2 /кг 2 — универсальная гравитационная постоянная; M — масса Земли.

Подставляя v 1 и v 2 в формулу для отношения периодов, получим

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 G M R ⋅ 3 R G M = 3 3 ≈ 5,2 .

т.е. период обращения спутника, совершающего движение на высоте, равной двум радиусам, превышает период обращения спутника на околоземной орбите приблизительно в 5,2 раза.

Пример 6. Радиус некоторой планеты в 3 раза больше радиуса Земли, а плотность в 9 раз меньше плотности Земли. Определить отношение первых космических скоростей спутников для Земли и для планеты.

Решение. Сравниваются следующие первые космические скорости:

  • для поверхности планеты

где G = 6,67 ⋅ 10 −11 Н · м 2 /кг 2 — универсальная гравитационная постоянная; M З — масса Земли; R З — радиус Земли; M — масса планеты; R — радиус планеты.

Отношение скоростей равно

v 1 v 2 = M З R З R M .

Считая, что Земля и планета имеют шарообразную форму, получим формулы для вычисления соответствующих масс:

M З = ρ З V З = 4 3 π ρ З R З 3 ,

M = ρ V = 4 3 π ρ R 3 ,

где ρ З — плотность Земли; ρ — плотность планеты.

Подставим выражения для масс в формулу для отношения скоростей:

v 1 v 2 = 4 3 π ρ З R З 3 R З 3 4 R π ρ R 3 = ρ З R З 2 ρ R 2 = R З R ρ З ρ .

По условию задачи R = 3 R З и ρ З = 9ρ; следовательно, искомое отношение скоростей равно

Читайте также:  Регистратор напряжения в сети с памятью

v 1 v 2 = R З 3 R З 9 ρ ρ = 1 ,

т.е. скорости спутника одинаковы для поверхности Земли и для поверхности планеты.

Пример 7. Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиусом 20 000 км вращается спутник со скоростью 12 км/с. Определить величину ускорения свободного падения на поверхности планеты, если ее радиус равен 12 000 км.

Решение. Ускорение свободного падения на поверхности планеты найдем по формуле

где G = 6,67 ⋅ 10 −11 Н · м 2 /кг 2 — универсальная гравитационная постоянная; M — масса планеты; R — радиус планеты.

Радиус планеты задан в условии задачи, произведение ( GM ) можно выразить из формулы для первой космической скорости:

v = G M R + h = G M r ,

где r — радиус орбиты спутника; отсюда искомое произведение

Подставим ( GM ) в выражение для вычисления g 0 :

Расчет позволяет получить значение ускорения свободного падения на поверхности планеты:

g 0 = ( 12 ⋅ 10 3 ) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 ( 12 ⋅ 10 6 ) 2 = 20 м/с 2 .

Первая космическая скорость – скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно двигалось вокруг Земли по круговой орбите с постоянной скоростью под действием силы тяжести, т. е. стало искусственным спутником.

Спутником Земли может стать тело любой массы, лишь бы ему была сообщена достаточная скорость. Для спутника, запускаемого вблизи Земли (h = 0) скорость равна:

где G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – радиус Земли. Эта формула является формулой расчета первой космической скорости при запуске спутника, т. е. той горизонтальной скорости, которую сообщают телу вблизи поверхности Земли, чтобы оно стало ее спутником.

Поскольку , то Отсюда .

Подставив в эту формулу значения g = 9,8 м/с 2 и R = 6,4∙10 6 м, получим υ ≈ 8 км/с.

Искусственный спутник запускают при помощи ракеты-носителя, которая поднимает спутник на высоту порядка 300 км (на этой высоте почти не сказывается сопротивление атмосферы) и придает ему горизонтальную скорость υ1. Спутник, отделившись от ракеты, продолжает движение в гравитационном поле Земли. Если телу придать бо´льшую скорость, его движение будет происходить по эллиптической орбите. По мере увеличения начальной скорости, приданной телу при запуске, его орбита будет вытягиваться, пока не превратится в незамкнутую кривую – параболу.

Второй космической (параболической) скоростью называют скорость, которую надо придать телу у поверхности Земли, чтобы оно ее покинули, двигаясь по параболической траектории. Эта скорость в раза больше первой космической и равна 11,2 км/с. При этой скорости тело покидает Землю, но остается в пределах Солнечной системы – становится спутником Солнца.

Барон: Я берусь создать спутник, который будет вращаться вокруг Земли со скоростью 30 километров в секунду! И при этом невесомости в корабле не будет!

Профессор: Но если скорость больше второй космической, спутник должен покинуть Землю навсегда!

Инженер: Если на вашем корабле работает двигатель, то почему же скорость не увеличивается?

Бизнесмен: А надолго ли хватит горючего?

Первая космическая скорость

Прежде чем приступить к обсуждению проекта барона, вспомним, что такое первая и вторая космические скорости. Для того чтобы заранее предвосхитить все возможные недоумения учащихся представим наши рассуждения в форме воображаемого диалога Автора с Читателем.

Автор: Как вы считаете, можно ли неограниченно долго падать на Землю и при этом. не упасть на нее?

Читатель: Думаю, нет. В конце концов, всё, что падает, упадет.

Автор: А как же искусственные спутники Земли? Они ведь всё время находятся в свободном падении.

Читатель: Спутники? Но они же вращаются вокруг Земли, а не падают на нее!

Автор: Под падением я понимаю движение под действием одной-единственной силы — силы тяжести. А на спутник с выключенными двигателями никакие другие силы как раз и не действуют. Так что движение спутника — это типичное свободное падение.

Читайте также:  Как поменять расположение папки загрузки

Читатель: Тогда я не понимаю, как же спутникам удается удержаться на орбите.

Автор: Вас удивляет, что сила тяжести тянет спутник к центру Земли, а он движется по окружности? А посмотрите на шарик, который вращают на нити в горизонтальной плоскости (рис. 5.1): сила натяжения нити всё время направлена к центру окружности, а шарик движется по окружности.

На спутник же вместо силы натяжения нити действует сила тяжести (рис. 5.2).

Чтобы было понятнее, проведем такой мысленный эксперимент. Поднимемся на очень высокую башню — высотой километров эдак в сто (на этой высоте сила сопротивления воздуха уже практически отсутствует) — и будем бросать с башни камешки, как показано на рис. 5.3. Чем с большей скоростью мы бросим камешек, тем дальше упадет он от основания башни. Наконец, при какой-то определенной скорости он вообще не упадет на землю, а вернется к нам с противоположной стороны.

Тут необходима осторожность: учитывая, что скорость такого камешка должна быть раз в 10 больше скорости артиллерийского снаряда, то последствия могут быть. сами понимаете. А скорость такого камешка как раз и называется первой космической. Сформулируем это четче.

Первой космической скоростью называется скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало спутником Земли и двигалось по круговой орбите на небольшой по сравнению с радиусом Земли высоте.

Давайте сразу и вычислим первую космическую скорость хI. Так как тело находится на небольшой высоте h 2 . Единственная сила, которая действует на тело, движущееся по круговой орбите вокруг Земли — это сила тяжести . Она-то и сообщает телу центростремительное ускорение , где R — радиус Земли.

По второму закону Ньютона:

Подставим численные значения (R = 6,400·10 6 м, g = 9,8 м/с 2 ), получим:

Запомним: первая космическая скорость хI = 7,9 км/с.

Заметим, что по формуле (5.1) можно вычислить первую космическую скорость не только для Земли, но и для любой другой планеты.

Читатель: А если камешку на рис. 5.3 сообщить скорость х > 7,9 км/с?

Автор: При скорости, большей первой космической, траектория камешка (или космической станции) из окружности превратится в эллипс, который по мере увеличения скорости будет становиться всё более вытянутым (рис. 5.4). Наконец, при скорости х = 11,2 км/с, которую называют второй космической, траектория тела из эллипса превратится в параболу и тело навсегда покинет пределы земного тяготения.

Идея скоростного спутника

Теперь об идее барона. Скорость, с которой его спутник вращается вокруг Земли — 30 км/c — значительно больше первой космической скорости, которая, как мы с вами выяснили, составляет всего 7,9 км/c! Но у спутника барона, как видно из рисунка на плакате, имеется двигатель, который выбрасывает реактивную струю в направлении от центра орбиты! Этот двигатель создает дополнительную силу, которая теперь вместе с силой тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение. Иными словами, центростремительная сила увеличилась на величину силы тяги реактивного двигателя, а, значит, увеличилось и центростремительное ускорение. Теперь второй закон Ньютона для спутника будет иметь вид:

где f — реактивная сила, х — скорость спутника, R — радиус орбиты, m — масса спутника, а g — ускорение свободного падения (рис. 5.5).

Из формулы (5.2) ясно, что, увеличивая реактивную силу f, мы можем увеличивать скорость вращения спутника х. Теоретически нам никто не мешает сделать реактивную силу сколь угодно большой, а значит и скорость обращения спутника можно теоретически неограниченно увеличивать вплоть до скорости света. Проблемы начинаются там, где мы от теории переходим к практике.

Читайте также:  Тесты на цветовосприятие рабкина

Сначала ответим на возражение Профессора. Он опасается, что, поскольку скорость спутника превышает не только первую, но и вторую космическую, то наш спутник удалится от Земли на бесконечное расстояние. Профессор просто забыл, что это справедливо только для небесного тела — то есть спутника, не имеющего никаких двигателей. Наличие двигателя всё принципиально меняет. С двигателем можно улететь с Земли с любой, даже очень маленькой скоростью (если не жалко горючего), а можно и не улететь от нее далеко, двигаясь очень быстро!

Так что возражение Профессора мы не принимаем.

Теперь остановимся на возражении Инженера: почему не увеличивается скорость, если работает двигатель? То есть почему не увеличивается скорость, если на спутник действует сила?

Тут уместен контрвопрос: а почему не увеличивается скорость спутника, который движется вокруг Земли по круговой орбите с первой космической скоростью (см. рис. 5.2)? На него ведь тоже действует сила тяготения. А почему не увеличивается скорость шарика, который мы раскручиваем на веревке (см. рис. 5.1)? На него ведь тоже действует сила натяжения нити!

Дело в том, что все эти силы направлены перпендикулярно к направлению скорости, поэтому они не совершают механической работы: угол, который составляет каждая из этих сил с вектором малого перемещения, равен 90°, поэтому работа всех этих сил равна: А = F·Δs·cos90° = 0. И все эти силы «занимаются» не увеличением величины скорости тела, а изменением направления скорости.

Можно спросить: на что же тогда тратится энергия топлива, ведь она же не может исчезнуть? Увы, она тратится довольно расточительно — на увеличение внутренней энергии продуктов сгорания топлива.

Самый неприятный для барона вопрос задал Бизнесмен: «А сколько потребуется горючего?»

Не будем огорчать барона: очень много, лучше даже не рассчитывать, чтобы не расстраиваться. Двигатель должен работать на полную мощность постоянно, а ведь топливо еще надо доставить на орбиту! Правда, барон ничего не сказал о конструкции своего двигателя. Может быть, он уже научился черпать энергию «из физического вакуума», как предлагают некоторые современные изобретатели? Тогда другое дело!

Лучше сделаем другую оценку. Вычислим, какую перегрузку будет испытывать барон, если он окажется внутри собственного спутника. То есть вычислим, во сколько раз вес барона в спутнике будет больше его веса на Земле.

Заметим, что в спутнике барона невесомости нет — что, конечно, хорошо, если вес не слишком велик, и очень плохо, если вес становится слишком большим!

Итак, пусть наш барон имеет массу 100 кг и движется в своем спутнике по орбите радиусом 6400 км, то есть на околоземной орбите. Тогда ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с 2 (рис. 5.6). Скорость спутника v = 30 км/с.

На барона действуют две силы: сила реакции со стороны пола и сила тяготения. Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление нормали :

, отсюда:

Ясно, что по третьему закону Ньютона с точно такой же по величине силой барон будет давить на пол:

В то же время на Земле вес барона, имеющего массу 100 кг, равен 100 кгс. Таким образом, вес барона в спутнике увеличится в 13 раз!

В истории космонавтики были случаи, когда в течение нескольких секунд космонавты выдерживали подобные перегрузки и при этом оставались живы. Но наш барон человек исключительной физической силы, поэтому, возможно, он выдержит несколько минут такого полета. Хотя, честно говоря, лучше бы сбросить скорость хотя бы до 20 километров в секунду: амбиции амбициями, а жизнь всё-таки дороже!

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector