Смешанная система счисления это

Смешанная система счисления это

Смешанной называется система счисления, в которой числа, заданные в некоторой системе счисления с основанием P изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q , где Q

старшим основанием , Q — младшим основанием , а сама система счисления называется Q-P-ичной .

В смешанной системе счисления во избежании разночтения для изображения каждой P-ичной цифры отводится одинаковое количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления любой P-ичной цифры.

Двоично-десятичная система счисления

Примером смешанной системы счисления является двоично-десятичная система . В двоично-десятичной системе счисления для изображения каждой десятичной цифры отводится 4 двоичных разряда, поскольку максимальная десятичная цифра 9 кодируется как 10012. Например,

Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2 и 5 десятичной записи соответственно.

Хотя в двоично-десятичной записи используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. Например, двоичный код 1001 0010 0101 соответствует десятичному числу 2341, а не 925.

В случае если P=Q l (l – целое положительное число), запись любого числа в смешанной системе счисления тождественно совпадает с изображением этого числа в системе счисления с основанием Q. Примерами такой смешанной системы счисления являются двоично-восьмеричная и двоично-шестнадцатеричная.

Система счисления — способ кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.
Существует множество различных систем счисления. Их можно разделить на три категории:

  1. Позиционные системы счисления.
  2. Непозиционные системы счисления.
  3. Смешанные системы счисления.

К позиционным системам счисления относятся двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Здесь любое число записывается последовательностью цифр соответствующего алфавита, причем значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в этой последовательности. Например, в записи 555, сделанной в десятичной системе счисления, использована одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное количественное значение – 5 единиц, 5 десятков или 5 сотен.

Непозиционные системы счисления — это такие системы, в которых значение цифры не зависит от ее положения в числе (римская система счисления). При этом система может накладывать определенные ограничения на порядок цифр (расположение по возрастанию или убыванию).

Смешанные системы счисления — это такие системы, в которых числа, заданные в системе счисления с основанием Р изображают с помощью цифр другой системы с основанием Q, где Q

Смешанная система счисления является обобщением p-ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел и каждое число x представляется как линейная комбинация:

Читайте также:  Как включить в стиме консоль

где на коэффициенты накладываются некоторые ограничения. Записью числа z в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k , начиная с первого ненулевого.Если для некоторого p , то смешанная система счисления совпадает с p-ичной системой счисления. Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению секунд.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Правила перевода целых чисел.

Результатом является целое число.

1. Из десятичной системы счисления — в двоичную и шестнадцатеричную:

a. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;

b. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);

c. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

d. формируется результирующее число: его старший разряд — полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа — первый остаток от деления, а старший — последнее частное.

Пример 3.1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

Пример 3.2. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

Пример 3.3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления — в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.

Пример 3.4. Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления.

1316 = 1*16 1 + 3*16 0 = 16 + 3 = 19.

Таким образом, 1316 = 19.

Пример 3.5. Выполнить перевод числа 100112 в десятичную систему счисления. Имеем:

100112 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16+0+0+2+1 = 19.

Таким образом, 100112 = 19.

3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

Читайте также:  D link dir 615 как сбросить пароль

a. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

b. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей

Пример 3.6. Выполнить перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления.

Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

a. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

b. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Пример 3.7. Выполнить перевод числа 1316 в двоичную систему счисления.

По таблице имеем: 116 = 12 и после дополнения незначащими нулями 12 = 00012; 316 = 112 и после дополнения незначащими нулями 112 = 00112. Тогда 1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.

Правила перевода правильных дробей

Результатом является всегда правильная дробь.1. Из десятичной системы счисления — в двоичную и шестнадцатеричную:

a. исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);

b. в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается — она является старшей цифрой получаемой дроби;

c. оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б).

d. процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

e. формируется результат: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

Пример 3.8. Выполнить перевод числа 0,847 в двоичную систему счисления. Перевод выполнить до четырех значащих цифр после запятой.Имеем:

В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.

Таким образом, 0,847 = 0,11012.

Пример 3.9. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.

Читайте также:  Величина и направление силы

В данном примере также процедура перевода прервана. Таким образом, 0,847 = 0,D8D2.

2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления — в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле, причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей.

Пример 3.10. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,11012.

Имеем: 0,11012 = 1*2 -1 + 1*2 -2 + 0*2 -3 +1*2 -4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.

Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.

Таким образом, 0,11012 = 0,8125.

Пример 3.11. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0,D8D16. Имеем: 0,D8D16 = 13*16 -1 + 8*16 -2 + 13*16 -3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,84692.

Расхождение полученного результата с исходным для получения двоичной дроби числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.

Таким образом, 0,D8D16 = 0,84692.

3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

a. исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;

b. каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

Пример 3.12. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,11012. Имеем: 0,11012 = 0,11012 В соответствии с таблицей 11012 = D16. Тогда имеем 0,11012 = 0,D16.

Пример 3.13. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,00101012.

Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль: 0,00101012 = 0,001010102. В соответствии с таблицей 00102 = 102 = 216 и 10102 = A16. Тогда имеем 0,00101012 = 0,2A16.

4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

a. каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей;

b. незначащие нули отбрасываются.

Пример 3.14. Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А16.

По таблице имеем 216 = 00102 и А16 = 10102. Тогда 0,2А16 = 0,001010102. Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный результат: 0,2А16 = 0,00101012.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector