Степень принадлежности элемента множеству

Степень принадлежности элемента множеству

Определение

Под нечётким множеством понимается совокупность , где X — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента X нечёткому множеству A.

Функция принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве М. Множество М называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок <0,1>. Если, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество. M=<0,1>.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = , M = [0,1]; A — нечеткое множество, для которого

Тогда A можно представить в виде:

A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, или

А= x1x2x3x4x5
0,3 0 1 0,5 0,9

Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции

сложения, а имеет смысл объединения.

Характеристическая функция обычного множества —это функция, устанавливающая принадлежность элемента к множеству. Особенность: носит бинарный характер.

Функция принадлежности — функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности производного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Степень принадлежности — это любое число из диапазона Z (например, Z=[0,1]).

Чем выше степень принадлежности, тем в большей мере элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.

Множество Z называют множеством принадлежностей. Если Z=<0,1>, то нечеткое множество F может рассматриваться как обычное (четкое) множество.

2. Какие нечеткие числа называют нормальными, унимодальными и выпуклыми?

Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество

Supp(F)=0>, для любого x принадлежащего Е.

Нечеткое множество называется пустым, если его носитель тоже пустое множество.

F=пустое множество supp (F)=пустое множество, то есть f(x)=0 для любого x от Е.

Нечеткое множество является унимодальным, если mA(x)=1 лишь для одного x из E.

Элементы x из Е для которых f(x)=0,5 называются точками перехода множества F.

Высотой нечеткого множества F называется верхняя граница его функции принадлежности hgt (F) = sup x из E f(x).

Нечеткое множество F называется нормальным, если его высота равна единицы. В противном случае оно называется субнормальным.

Нормализация — это преображение субнормального нечеткого множества F в нормальное F определяется так:

F=norm (F) f(x)=f(x)/hgt(F), для любого x из Е.

3. Дайте определение Нечеткие числа (L-R)-типа.

Нечеткие числа (L-R)-типа — это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Нечеткие числа и интервалы, которые наиболее часто используются для представления нечетких множеств в нечетком моделировании, являются нормальными. Однако данные выше определения нечеткого числа и нечеткого интервала слишком общие, что затрудняет их практическое использование. С вычислительной точки зрения удобно использовать более конкретные определения нечетких чисел и интервалов в форме аналитической аппроксима-ции с помощью так называемых (L-R)-функций. Получаемые в результате нечеткие числа и интервалы в форме (L-R)-функций позволяют охватить достаточно широкий класс конкрет-ных функций принадлежности. Определение 6.14.Функция L-muna (а также и R-muna), в общем случае определяется как произвольная функция L: R→[0,1] и R: /R→[0,1], заданная на множестве действительных чисел, невозрастающая на подмножестве неотрицательных чисел R+ и удовлетворяющая следующим дополнительным условиям: L(-x)= L(x), R(-x)=R(x)условие четности; (6.7) L(0)=R(0) = 1 —условие нормирования. (6.8) Примечание: Иногда в литературе можно встретить еще одно условие, которому долж-ны, по мнению некоторых авторов, удовлетворять функции (L-R)-типа: L(1) = R(1) = 0. По-скольку с одной стороны это условие существенно ограничивает класс функций (L-R)-типа, а с другой стороны, рассматриваемые ниже треугольные нечеткие числа и трапециевидные не-четкие интервалы согласуются с выполнением этого свойства, мы не будем его включать в определение функций (L-R)-типа.

Читайте также:  Pistonsoft mp3 tags editor

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10824 — | 7386 — или читать все.

Рассмотрим универсальное множество U= .

Нечетким подмножеством A на множестве U называется совокупность пар

Где ma: U® [0,1] – отображение множества U в единичный отрезок [0,1], называемое функцией принадлежности нечеткого подмножества A.

Значение функции принадлежности ma (u) для элемента uÎU будем называть степенью принадлежности. Для упрощения записи будем считать, что выражению (5.1) эквивалентны выражения

Переменная u называется базовой.

Интерпретацией степени принадлежности mA(u) является субъективная мера того, насколько элемент uÎU соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством A.

Таким образом, нечеткое множество А области рассуждений U характеризуются функцией принадлежности.

, которая каждому элементу u множества U ставит в соответсвие число из отрезка [0,1], описывающее степень принадлежности элемента u подмножеству А.

Носителем нечеткого подмножества (далее: множества) Ф называется множество таких элементов U, для которых положительна.

Точкой перехода А называется такой элемент множества U, степень принадлежности которого множеству A равна 0,5.

Пример 5.1: Рассмотрим нечеткое множество A3, соответствующее нечеткому понятию “небольшой запас деталей на складе”. Носителем данного нечеткого множества является конечное множество:

, каждый элемент которого представляет собой определенное количество деталей.

0.7/16; 0.8/19; 1.0/20; … 1.0/33; 0.9/34; 0.8/35;

Отсюда следует, что в решаемой задаче управления запасами для конкретного ЛПР понятию “небольшой запас деталей на складе” полностью соответствует запас объемом от 20 до 33 деталей, в меньшей степени – запасы от 10 до 19 и от 34 до 40 деталей. Запас объемом меньше 10 и больше 40 деталей понятием “небольшой” охарактеризован быть не может.

Далее для краткости нечеткое подмножество А множества U будем называть нечетким множеством А.

Одноточечным нечетким множеством называется множество, носитель которого состоит из единственной точки. Если А – одноточечное нечеткое множество, носителем которого является точка u, то записывается это как:

(5.2)

Где m — степень принадлежности u множеству А. Определенное (четкое) одноточечное множество обозначают через 1/ u.

Нечеткое множество можно рассматривать как объединение составляющих его одноточечных множеств. Имея это ввиду, множество А можно представить в следующем виде:

(5.3)

где символ (интегрирование) обозначает операцию объединения одноточечных нечетких множеств

Если носитель А состоит из конечного числа элементов, то интегрирование в (5.3.) можно заменить суммированием:

(5.4)

(5.5)

где число — степень принадлежности элемента Ui множеству А. Знак плюс в (5.4) обозначает объединение, а не арифметическое суммирование.

Пример 5.2. Если универсальное множество состоит из чисел от 1 до 10, т.е.

То нечеткое множество А множества U, описываемое понятием «несколько» можно определить в виде

(5.7)

(символ обозначает равенство по определению).

Пример 5.3. Если U интервал с элементами [0,100] и возраст, то нечеткие подмножества, описываемые понятиями «молодой» и «старый» можно представить в виде (здесь и ниже нечеткое множество отождествляться с понятием, которое его описывает).

(5.8)

(5.9)

Рис. 5.5. Графическое представление лингвистических понятий «молодой» и «старый».

Степень принадлежности к нечеткому множеству может сама представлять собой нечеткое множество.

Пример 5.4. Если есть множество

(5.10)

и А — нечеткое множество «привлекательная», то можно написать

Нечеткие степени принадлежности «мало», «средне» и «сильно» являются при этом нечеткими подмножествами полного множества V, определяемого следующим образом:

Сами эти подмножества определяются так:

Читайте также:  Фильмы на ютубе про

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9526 — | 7348 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Нечеткое множество — ключевое понятие нечеткой логики. Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ­сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

где μА(х) —характеристическая функция, принимающая значе­ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 – в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль­ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар

где μА(х)характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = [0, 1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы­вают множеством принадлежностей. Если М = <0, 1>, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Тогда А можно представить в виде

Замечание. Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть М = [0, 1] и А — нечеткое множество с элементами из универсаль­ного множества Е и множеством принадлежностей М.

• Величина называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А нормально, если его высота рав­на 1,т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 ( = 1). При

• Нечеткое множество пусто, если ∀x ϵ E μA(x) = 0. Непу­стое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

• Нечеткое множество унимодально, если μA(x) = 1 только на одном х из Е.

Носителемнечеткого множества А является обычное под­множество со свойством μA(x)>0, т.е. носитель А = <x/x ϵ E, μA(x)>0>.

• Элементы x ϵ E , для которых μ A( x ) = 0,5 , называются точками перехода множества А.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть Е = <0, 1, 2, . . ., 10>, М = [0, 1]. Нечеткое множество «Несколько» можно определить следующим образом:

«Несколько» = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = <3, 4, 5, 6, 7, 8>, точки перехода — <3, 8>.

2. Пусть Е = <0, 1, 2, 3,…, n,>. Нечеткое множество «Малый» можно определить:

3. Пусть Е = <1, 2, 3, . . ., 100>и соответствует понятию «Возраст», тогда нечеткое множество «Молодой» может быть определено с помощью

Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве Е’ = <ИВАНОВ, ПЕТРОВ, СИДОРОВ. >задается с помощью функции при­надлежности μМолодой (x) на Е = <1, 2, 3, . . ., 100>(возраст), называемой по отношению к Е’ функцией совместимости, при этом:

где х — возраст СИДОРОВА.

4. Пусть Е = <ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,… >– множе­ство марок автомобилей, а Е’ = [0, ∞] — универсальное множество «Сто­имость», тогда на Е’ мы можем определить нечеткие множества типа:

Читайте также:  Rutracker org зеркало официальный сайт

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями при­надлежности вида рис. 1.1.

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из Е в данный момент времени, мы тем самым определим на Е’ нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество «Для бедных», заданное на уни­версальном множестве Е = < ЗАПОРОЖЕЦ, ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС. >, выглядит так, как показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пример задания нечеткого множества

Аналогично можно определить нечеткое множество «Скоростные», «Средние», «Тихоходные» и т. д.

5. Пусть Е — множество целых чисел:

Тогда нечеткое подмножество чисел, по абсолютной величине близких к нулю, можно определить, например, так:

О методах построения функций принадлежности нечет­ких множеств

В приведенных выше примерах использованы пря­мые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х ϵ Е значение μА(х), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности ис­пользуются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выде­лить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Шкалы в задаче распознавания лиц

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шка­лы, задает μ A (х) ϵ [0, 1], формируя векторную функцию принад­лежности < μA ( х1 ) , μ A ( х2 ),…, μ A9) >.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкрет­ное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: «этот че­ловек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение μлысый (данного лица). (В этом примере можно действо­вать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц.)

Косвенныеметоды определения значений функции принад­лежности используются в случаях, когда нет элементарных из­меримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравне­ний. Если бы значения функций принадлежности были нам из­вестны, например, μA(х­i) = ωi, i= 1, 2, . n,то попарные срав­нения можно представить матрицей отношений А = < aij>, где aij= ωi/ωj (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А, при этом пред­полагается, что диагональные элементы равны 1, а для элемен­тов симметричных относительно диагонали aij= 1/aij, т.е. если один элемент оценивается в α раз сильнее, чем другой, то этот по­следний должен быть в 1/α раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора ω, удовлетворяющего уравнению вида Aw= λmaxw, где λmax— наибольшее собствен­ное значение матрицы А. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является поло­жительным.

Можно отметить еще два подхода:

  • использование типовых формкривых для задания функций принадлежности (в форме (L-R)-Типа – см. ниже) с уточнением их параметров в соответствии с данными эксперимента;
  • использование относительных частот по данным экспе­римента в качестве значений принадлежности.
Ссылка на основную публикацию
Adblock detector