Степенная функция и показательная отличия

Степенная функция и показательная отличия

Показательно-степенная функция (точнее, сложно-показательная функция) — это функция вида

то есть функция, в которой переменная содержится и в основании степени, и в ее показателе. Примеры показательно степенных функций:

Чтобы найти производную показательно-степенной функции, нужно прологарифмировать обе части формулы, задающей функцию, по одинаковому основанию (как правило, логарифмируют по основанию e, потому что производная натурального логарифма — самая простая из всех производных логарифмов). Затем берут производную от обеих частей полученного равенства. Такая производная от логарифма функции называется логарифмической производной.

Рассмотрим поэтапно схему нахождения производной показательно-степенной функции с помощью логарифмической производной. Для упрощения записи обозначим f(x)=u, g(x)=v, тогда показательно-степенная функция принимает вид

Наша задача — найти производную этой функции.

Схема нахождения производной показательно-степенной функции:

1. Логарифмируем обе части равенства по основанию e:

Поскольку степень можно вынести за знак логарифма, имеем:

2. Дифференцируем обе части равенства. При этом помним, что y зависит x, и u зависит от x, то есть lny и lnu — сложные функции . А значит, их производные равны произведению производных внешней функции — логарифма (f=lnu) и внутренней функции (u=y или u=u). В правой части стоит произведение двух функций, то есть надо применить правило дифференцирования произведения:

3. Обе части равенства умножаем на y:

4. Теперь вспоминаем, что

и подставляем в формулу вместо y это выражение:

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Урок 127. Тема: Показательная функция, отличие ее от степенной функции, основные свойства, график

Тип урока : Ознакомление с новым материалом

Форма урока : лекция – диалог

Продолжительность: 1 урок — 45 мин

Цель : — ознакомиться с понятием показательной функции;

Читайте также:  Lenovo suite для windows 7

— рассмотреть отличие показательной функции от степенной;

— рассмотреть свойства показательной функции;

— научиться строить график функции

1.Организационный момент — 2мин

2. Проверка домашнего задания – 5 мин

3. Сообщение темы и целей урока – 2 мин

, , y = , , , , .

Из функций записанных на доске укажите известные вам функции. К какому виду функции все они относятся? Какая новая для вас функция? ( , , ). Именно сегодня на уроке и будем изучать эту функцию

5. Организация восприятия новой информации — 20мин

Введение определения показательной функции

аргумент – показатель степени

основание степени – заданное число

Этим и объясняется название функции. Итак, что называется показательной функцией?

Показательной функцией называется функция вида , где а – заданное число, а>0, .

Записать определение в тетрадь.

Графики показательной функции

Построим в одной системе координат графики функции и .

На заранее приготовленной системе координат строим два графика (), весь класс работает по вариантам.

Показательная функция (экспонента)

Показательная функция – это функция вида y = a x , где a > 0, a ≠ 1.

Следует различать показательную функцию y = a x и степенную функцию y = x n . Это совершенно разные функции.

Разница – в местоположении аргумента х. В показательной функции он является степенью, в степенной – основанием. Соответственно в показательной функции изменяется значение степени, в степенной – значение основания.

Сначала найдем координаты точек показательной функции y = 2 x .

Пусть х = 1, 2, 3, 4, 5.

Тогда мы получим следующие значения у:

Итак, у имеет следующие точки: 2, 4, 8, 16, 32.

Обратите внимание: в показательной функции основание неизменно (в нашем случае оно равно 2). Разные значения присваиваются степени.

Теперь найдем координаты точек степенной функции у = х 2 .

Пусть х имеет те же значения, что и в первом случае:

Читайте также:  Проверьте пожалуйста все ли верно

Тогда мы получим следующие значения у:

Таким образом, у имеет следующие точки: 1, 4, 9, 16, 25.

Обратите внимание: в степенной функции степень неизменна (в нашем случае она равна 2). Разные значения присваиваются основанию.

Как видите, разница между двумя функциями существенная.

Есть еще функция вида x x . Она не является ни показательной, ни степенной. Иногда ее называют показательно-степенной.

График показательной функции y = a x .

Графиком функции является кривая, которую называют экспонентой. Этим словом принято называть и саму функцию. Таким образом, экспонента – это показательная функция y = a x .

При a > 1 экспонента возрастает. При 0 1, и при х → +∞, если 0
Основные свойства показательной функции
y = a x .

1) Область определения функции – множество всех чисел:

2) Область значений функции – все положительные числа:

3) Функция ни четная, ни нечетная.

4) При a > 1 функция возрастает.
При 0

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector