Усеченный конус задачи с решениями

Усеченный конус задачи с решениями

Набор геометрических задач с решением по теме "Конус" для подготовки к ЕГЭ.

Скачать:

Вложение Размер
konus.pptx 635.87 КБ
Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Конус Выполнила: Кононенко Алина

Задача №1: Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса. Дано: h=SO=15 см, r= ОА=8см. Найти: AS. Решение: S O A B По условию SO=h=15 см, r=OA=8 см AS= = = =17 см Ответ: 17см.

Задача №2: Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см. Дано: АО=ОВ=5см, ∟ A РВ = 90° . Найти: Решение: Р А В О Ответ: 25

Задача №3: Высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен 60°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие. Дано: РО= h, ∟APO=60°, AP _|_ PB, PB – образующая. Найти: Решение: 1) АР=2 h, (PO- катет, лежащий против угла в 30° ) ; 2) АР=РВ=2 h – как образующие конуса; 3) Ответ: 2 60° h P 30° O B A

Задача №4: Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α . Найдите α , если высота конуса равна 4 см, а радиус основания 3 см. Дано: АВС – развертка конуса, ∟АВС= α , h=4 см, r=3 см. Найдите: α . Решение: АВО – прямоугольный, АВ= Ответ: 216 В А С О h r

Задача №5: Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . В основании конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна , а противолежащий угол равен . Найдите площадь полной поверхности конуса. Дано: конус, ∟ВАО= , ɑ, ∟K= . Найти: Решение: Т.к. ∟ MNK – вписанный, то ∟ MON=2∟MNK=2 ( как центральный ) ; п о теореме косинусов: ɑ =2R R= В С А M N K O

В ∟O=90 ∟M= M= MB= Ответ: .

Задача №6: Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3см и 6 см, а высота равна 4см. В С А D O O1 В 1 C1 Дано: усеченный конус, ВО=3см, АО1=6см, ОО1=4см. Найти: l = АВ=С D. Решение: Рассмотрим осевое сечение пирамиды АВСВ ВС=2ОВ=6см; AD=2OA=12 см, т.к. трапеция равнобедренная, то АВ1=С1 D =( AD — DC):2=3 см; CD= =5 см, т.е. образующая конуса l = АВ =CD=5 см. Ответ: 5см.

Задача №7: Радиусы оснований усеченного конуса равны R и r , где R>r, а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь осевого сечения. Дано: усеченный конус, ВО= r, АО1= R, ∟ BAD=45°. Найти: Решение: Т.к. Ответ: А В С D O O 1 В1 С1

Читайте также:  Замена процессора на ноутбуке dell

Задача №8: Площадь боковой поверхности конуса равна 80 . Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса. Дано: конус, _ |_ A1O1, O1 ВО, ВО1=О1О. Найти: Решение: Ответ: 60 . А А1 В С1 С О1 О

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса в восемь раз меньше объема большего конуса.

Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите

Объем конуса равен

,

где —площадь основания, а — высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в °: — он вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Объем конуса равен

,

где — площадь основания, а — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

V=1/3Sh-это формула объёма пирамиды!

Она же формула объема конуса.

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, высоту конуса можно уменьшить в 3 раза (вообще говоря, в n раз) : 1) полагая неизменным основание (радиус основания) конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию конуса проводится сечение, делящее высоту в отношении 1:3 (1:n), и получается отсечённый конус с высотой, уменьшенной в 3 раз (в n раз). Во втором случае, учитывая, что меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3, а объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем меньшего конуса в 27 раз меньше объема большего конуса.

В добавление замечу, что возможен ещё третий случай, когда высота конуса уменьшается в 3 раза (вообще говоря, в n раз): если образующая не меняется. При этом изменяются телесный угол (увеличивается), а радиус основания (увеличивается), так как образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора. В данном случае ответ будет соответствующим образом зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса. Например, если у исходного конуса положить угол между образующей и плоскость основания равным 45 град., то, в результате несложных вычислений, мы получим объём конуса (с уменьшенной в 3 раза высотой и той же самой образующей): V2 = 17/27*V1 или V2/V1 = 17/27.

Читайте также:  Ios 12 быстро разряжается батарея

С уважением. И. И.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?

Объем конуса равен

,

где — площадь основания, —высота конуса, а — радиус основания. При увеличении радиуса основания в 1,5 раза объем конуса увеличится в 2,25 раза.

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, радиус основания конуса можно увеличить в 1,5 раза (вообще говоря, в n раз): 1) полагая неизменной высоту конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию исходного конуса проводится сечение конической поверхности (часть которой является боковой поверхностью исходного конуса), проходящее через точку на продолжении высоты конуса, отстоящую от вершины в 1,5 раза (в n раз) дальше основания высоты исходного конуса, и, таким образом, получается отсечённый конус с радиусом, увеличенным в 1,5 раза (в n раз), так как больший конус подобен меньшему с коэффициентом 1,5; или 3) полагая неизменной образующую конуса (при этом, изменяются телесный угол (увеличивается) и высота конуса (уменьшается), а образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора).

Во втором случае, учитывая, что объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем большего конуса в 3,375 раза (в n в кубе раз) больше объёма меньшего конуса, то есть, объём конуса увеличится в 3,375 раза (в общем случае – в n в кубе раз).

В третьем случае ответ будет зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса (так как образующая, высота и радиус основания связаны по теореме Пифагора).

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на

Читайте также:  Php как получить url текущей страницы

По теореме Пифагора найдем, что радиус основания равен Тогда объем конуса, деленный на :

Задания для самостоятельной работы при повторении темы "Конус. Усеченный конус"

Просмотр содержимого документа
«Конус. Усеченный конус. Повторение теории и решение задач»

Тело вращения: Конус

Совет: Выполняйте задания поэтапно, переходя к следующему этапу только тогда, когда предыдущий выполнен вами полностью.

Задание 1. Прочтите вопросы, попытайтесь ответить на них, если вопрос вызывает у вас затруднения, обратитесь к учебному пособию или справочнику. После того, как проработаете все вопросы, ответьте на них еще раз, но уже самостоятельно.

Определите понятия «Конус», «Усеченный конус».

Назовите основные элементы конуса и усеченного конуса.

Может ли осевым сечением конуса быть прямоугольный треугольник? прямоугольник? равносторонний треугольник?

Назовите формулы для расчета площади боковой и полной поверхности конуса.

Какая формула позволяет рассчитать объем конуса?

Назовите формулы для расчета площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

Какая формула позволяет рассчитать объем усеченного конуса?

Как найти длину окружности, находящейся в основании конуса?

На какие тела разбивает конус сечение, проходящее перпендикулярно оси конуса?

Если вопросы не вызвали у вас затруднений, поздравляю вас, вы хорошо помните теоретический материал по теме «Конус. Усеченный конус». Если же вы обращались к учебному пособию часто, то вам необходимо проработать теорию еще раз самостоятельно или обратиться за помощью к преподавателю.

Приступайте к решению задач. Начинаем с более простых задач.

Найдите образующую конуса, если высота конуса равна 8 см, радиус основания 6 см.

Высота конуса равна 8 см, радиус основания 6 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

Образующая конуса равна 16 см и наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите площадь полной поверхности конуса.

А теперь перейдем к более сложным задачам.

Найдите объем конуса, если его осевое сечение – прямоугольный треугольник с катетом, равным 8 см.

В усеченном конусе диагональ осевого сечения равна 10 м, радиусы оснований 2 м и 4 м. Найдите высоту конуса.

Треугольник со сторонами 20, 37 и 51 вращается около большей стороны. Найдите поверхность тела вращения.

А теперь самая сложная задача, над решением которой нужно подумать.

Два конуса имеют общую высоту и параллельные основания. Радиусы оснований равны 9 и 18, разность образующих равна 3. Определите боковые поверхности внешних частей этих конусов.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector